Borne supérieure et continuité

[flynice1]

Bonjour, j'ai un peu de mal concernant un exercice de maths.
1) Montrer que, pour tout x∈ℝ, { xⁿ/n! ∣ n∈ℕ* } possède une borne supérieure et que cette borne supérieure est égal à son maximum.
2) On pose f(x) = sup { xⁿ/n! ∣ n∈ℕ* }. Montrer que l'on a pour tout x∈ [-1 ; 1], 0 ≤ f(x) ≤ |x|.
3) En déduire la continuité de f en 0.
J'ai réussi ces trois questions. Mais la suivante me pose plus de problèmes :
4) Montrer l'assertion : ∀x₀ ∈ ]0 ; +∞[ ∃η > 0 ∃n₀ ∈ ℕ* ∀x ∈ [x₀ - η ; x₀ + η], f(x) = max { xⁿ/n! | n ∈ {1,2,...,n₀} }
Je ne comprends pas cette assertion (si ce n'est qu'elle ressemble un peu à une définition de limite en x₀, mais bon...), et encore moins comment la prouver.
Merci d'avance.

[pascal16]

pour la BS, tu as vu la différence x positif/x négatif ?
, { xⁿ/n! ∣ n∈ℕ* }
à x fixé positif, peut être que quand n augmente, la suite Un= xⁿ/n! tend vers 0, donc il existe No tel que pour tout n >= No, |Un|< |x/2|.
No coupe la suite en 2, une de termes "plutôt grands" et finis, donc atteint son maximum et la queue de suite "petite"
à x fixé négatif, peut être que quand n augmente, la suite Un= x²ⁿ/2n! tend vers 0, donc il existe No tel que pour tout n >= No, |Un|< |x/2|. Les autres termes sont négatifs et donc majorés par Un
on procède de même

[zygomatique]

les réponses sont ici : https://www.ilemaths.net/sujet-bornes-s ... 53703.html

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