Besoin d'aide sur les vecteurs

[Dumdum]

Bonjour, je suis en Premiere S, la prof nous a donné une suite d'exercices sur les vecteurs. Mais je bloque sur un exercice :

"ABC est un triangle.
Les points M,N et P sont situés respectivement sur les droites (AB), (BC), et (CA).
On pose :
AM = xAB ; BN = yBC ; CP = zCA.
( AM, AB, BN, BC, CP et CA sont des vecteurs)
En travaillant dans le repere(A, B, C), demontrer que les points M, N et P sont alignés si, et ssi :
xyz = (x - 1) (y - 1)(z - 1) "

Seulement lorsque j'essaye des trouver des coordonnées, je trouve :
M(0;x+1) N(y; 1-y) P(1-z;-1) et MN(y;-y-x) NP(y+z-1;-2+y) MP (1-z;-2+y)
et impossible de continuer, Ai-je bien demarrer ? Quelles autres pistes suivre ?

Je vous remercie d'avance de votre aide !

[Ericovitchi]

non si AM= x AB, dans le repère AB,AC les coordonnées de M sont plutôt (x,0)
et P(0,1-z)

[Dumdum]

Oui !
Donc On a AM(0;x) , BN(y; -y) et Cp (-z; 0) mais comment en extraire les coordonées de M, N et P pour obtenir les vecteurs MN et MP ? Apres, comment en deduire que xyz = (x- 1) (y-1)(z-1) ?

[axel kram]

Il faudrait que tu commences par préciser dans quel repère exactement tu as trouvé ces coordonnées.

L'énoncé dit de prendre le repère (A,B,C) ce qui est un peu vague mais suggère de prendre A comme origine, (AB) comme axe des abscisses et (AC) comme axe des ordonnées. Mais, après tout, on pourrait choisir B ou C comme origine.

L'égalité vecteur AM = x vecteur AB signifie précisément que le point M a pour abscisse x dans le repère (A, vecteur AB) de la droite (AB). Donc dans le repère (A, vecteur AB, vecteur AC) du plan, le point M a pour coordonnées (x ; 0) et non ce que tu proposes.

Il faut donc préciser ton repère ou rectifier tes erreurs de coordonnées si tu choisis le repère (A, vecteur AB, vecteur AC).

Avoir un coach en mathématiques
http://m-m-maths.fr

[Dumdum]

Merci beaucoup, je vais essayer de cogiter ça cet apres midi ! Si je trouve une reponse, je vous le ferait savoir !

[Dumdum]

Donc :
Dans le repere (A; vecteur b; vecteur c)
M(0;x) , P (1-z;0) , N (y; 1-y)
Vecteur MP(1-z;-x)
vMN(y;1-y-x)
vPN(1-z-y;1-y)
Oui ? Non ?
Ensuite: vPN=k*vMN<=>1-z-y=ky et 1-y=k(1-y-x)
" <=>(1-z-y)/y=k et (1-y)/(1-y-x)=k
Oui ? Non ?

[Dumdum]

Pour que les points M, N et P soient alignés, il faut et il suffit que les vecteurs MN et MP soient colinéaires.

vec(MN) = vec(MA) + vec(AB) + vec(BN).
vec(MN) = (1-x).vect(AB) + y.vect(BC)

vec(MP) = vec(MA) + vec(AC) + vec(CP)
vec(MP) = -x.vec(AB) + vec(AC) - z.vec(AC)
vec(MP) = -x.vec(AB) + (1 - z).vec(AC)
vec(MP) = -x.vec(AB) + (1 - z).(vec(AB) + vect(BC))
vec(MP) = (1 - x - z).vec(AB) + (1 -z).vect(BC)

Pour que les vecteurs MN et MP soient colinéaires (et donc que les points M, N et P soient alignés), il faut et il suffit que :

(1-x)/(1-x-z) = y/(1-z)
y(1-x-z) = (1-x)(1-z)
y - xy - yz = 1 - z - x + xz
-xy - xz - yz + x + y + z - 1 = 0
et en ajoutant xyz des 2 cotés -->
xyz = xyz -xy - xz - yz + x + y + z - 1
xyz = xyz -xy - xz + x - yz + y + z - 1
xyz = xy(z-1) -x(z-1) - y(z-1) + (z-1)
xyz = (z-1).(xy -x - y + 1)
xyz = (z-1).(x(y -1) - (y - 1))
xyz = (z-1).(y -1).(x-1)