Besoin d'aide nombre complexe

[ak.you]

Bonjour,

je dois résoudre dans C l'équation suivante:

[CENTER]z^4=1+i[/CENTER]


Je ne vois pas clairement la démarche, j'ai déjà posé z^2=X pour résoudre,
[CENTER]X^2=1+i[/CENTER]

mais est ce que je dois écrire X=(a+ib) par la suite dans la résolution ?

[CENTER](a+ib)^2=1+i[/CENTER]

Après je pense tomber sur deux solutions, mais je ne vois pas comment réinjecter dans l'équation précédente.

Merci pour votre aide

[Sylviel]

utiliser la réprésentation exponentielle des complexes, ce sera nettement plus simple, non ?

[ak.you]

En fait je dois faire les deux méthodes, j'ai réussi par forme exponentielle mais par la substitution je sais pas du tout comment faire. En tout cas merci de ta réponse.

[Ben314]

Salut,
Effectivement, vu l'équation, il y a deux méthodes, soit avec les coordonnées polaires (trés simple et trés rapide), soit avec les coordonnées cartésiennes.
Pour la deuxième méthode, tu est effectivement ammené à chercher des "racines carrées" dans C, c'est à dire à résoudre des équations du type (x+iy)²=a+ib avec a et b connus.
Si tu développe, tu obtient les deux équations :
x²-y²=a (parties réelles égales)
2xy=b (parties imaginaires égales)
une GROSSE ASTUCE consiste à écrire en plus que les modules doivent aussi être égaux, ce qui signifie que
[le module de (x+iy)²] x²+y² = racine(a²+b²) [le module de a+ib]
Avec cette troisième équation, le système est bien plus simple à résoudre

[ak.you]

avec X^2=1+i je trouve a= + ou - racine ((1+ racine 2) / 2) et b=1 / ( racine (2+(2*racine 2))

Après je ne sais pas trop quoi faire

[Ben314]

Je pense que c'est bon.

Pour la suite, vu que tu avais "posé" X=z², il faut que tu résolve les deux équations suivantes :
z²=première solution que tu as trouvé.
z²=deuxième solution que tu as trouvé.

[ak.you]

d'accord merci pour ton aide !