1S Barycentre

[Jessica54]

Bonjour à tous!
J'aurai besoin de votre aide pour un exercice sur le "barycentre" pour mon dm de maths, dont voici l'énoncé :

ABC est un triangle du plan.
1. a) Construire le point G barycentre de (A,1) ; (B,-1) et (C,1).
b) Construire le point G' barycentre de (A,1) ; (B,5) et (C,-2).
2. a) J est le milieu de [AB].
Exprimer le vecteur GG' et le vecteur JG' en fonction du vecteur AB et du vecteur AC. En déduire l'intersection des droites (GG') et (AB).
b) Démontrer que le barycentre I de (B,2) et (C,-1) appartient à la droite (GG').
3. D est un point quelconque du plan. O est le milieu de [CD] et K le milieu de [OA].
a) Déterminer trois réels a, d et c tels que K soit barycentre de (A,a) ; (D,d) et (C,c).
b) On note X le point d'intersection de (DK) et (AC).
Déterminer les réels a' et c' tels que X soit barycentre de (A,a') et (C,c').


Voilà ce que j'ai déjà fait, si vous pouviez me corriger et m'aider pour ce que je n'ai pas réussi à faire...

(Je dis pas que ce sont des vecteurs mais s'en est quand même)

1. a) G est le barycentre de (A,1) ; (B,-1) et (C,1) et H est le barycentre de (A,1) et (C,1).
AH = 1/2 AC.
D'après le théorème du barycentre partiel, on a :
G est le barycentre de (H,2) et (B,-1).
HG = - HB.
GA-GB+GC=0
donc GA-(GA+AB)+(GA+AC)=0
donc GA-AB+AC=0
donc AG=-AB+AC

b) G' est le barycentre de (A,1) ; (B,5) et (C,-2) et H' est le barycentre de (A,1) et (B,5).
AH' = 5/6 AB
G'A+5GB-2GC=0
G'A+5(GA+AB)-2(GA+AC)=0
4GA+5AB-2AC=0
4AG'=5AB-2AC
AG'=5/4AB-1/2AC
D'après le théorème du barycentre partiel, on a :
G' est le barycentre de (H,6) et (C,-2).
H'G' = - 1/2 H'C

2. a) J milieu de [AB].
GG'=GA+AG'
GG'=AB-AC+5/4AB-1/2AC
GG'=9/4AB-3/2AC

JG'=JA+AG'
JG'=-1/2AB+5/4AB-1/2AC
JG'=3/4AB-1/2AC

Donc JG' = 3GG' donc J appartient à (GG').
Et comme J est le milieu de [AB], J appartient à (AB).
Par conséquent, J = (AB) U (GG').

b) I est le barycentre de (B,2) et (C,-1)
BI=-BC=-(BA+AC)
BI=AB-AC

GI=GA+AB+BI
GI=GA+AB+AB-AC
GI=GA+2AB-AC

GG'=9/4AB-3/2AC d'après a)
Donc I appartient à (GG')

3. j'ai pas réussi....

[Sphinx]

A quoi sert-il d'introduire H,tu ne le mentionnes nulle part?
Fais attention à tes notations,car tu dis G à la place de G' et H à la place de H' dans le 1b.
Dans le 2a,tu fais une erreur,c'est pas JG'=3GG',mais GG'=3JG'
L'intersection ne se note pas comme tu l'as notée.Au contraire,elle se note vers le bas(ton symbole à l'envers).Ton symbole,c'est la réunion.
Bon,pour le 2b,je t'avouerai que je ne vois pas ce que ta solution prouve,mais je n'ai plus beaucoup de temps devant moi,je chercherai à tête reposée.
Pour le 3a,K,milieu de [OA],est barycentre de (O,1) et (A,1),ou (O,2) et (A,2)
Ainsi O étant milieu de [CD],K est barycentre de (C,1),(D,1) et (A,2)
Donc a=2,d=1,c=1
Bon,le 2b et le 3b,je les ferai chez moi à tête reposée(je ne suis pas dans de bonnes dispositions car je suis dans un cyber-café).
Toutefois,tu te débrouilles plutôt bien déjà.Tu as bien assimilé le cours.
A plus!

[Sphinx]

Resalut!
Pour le 2b)I est barycentre de (B,2) et (C,-1),donc BI=-BC=GA
Donc (ABGI) est un parallélogramme.Donc,J,milieu de [AB] est aussi milieu de [GI].G' et I appartiennent à (GJ),donc I appartient à (GG').
Rappel:on avait AG=-AB+AC=BA+AC=BC

3b)K est barycentre de (A,2),(C,1) et (D,1)
Soit Y le barycentre de (A,2) et (C,1)
Alors K est barycentre de (Y,3) et (D,1)
Y appartient à (AC) et (DK),donc Y=X
Donc a'=2 et c'=1.
cqfd
Ciao!
PS:En tout cas,c'est pas les barycentres qui te causeront le plus d'ennuis,vu que tu les a bien assimilés.

[Jessica54]

Je te remercie pour ton aide sphinx. Cela m'est très utile. Vois-tu d'autres problèmes dans cet exercice? Merci d'avance. Bonne soirée!

[Sphinx]

Il n'y a rien à ajouter.Tu peux dormir tranquille!
Ciao!

[Jessica54]

Merci beaucoup! Bye!