Barycentre

[kaduflyer]

Bonjour, j'ai besoin d'aide pour l'exercice suivant, merci:
On se propose de démontrer que l'orthocentre du triangle ABC est le barycentre du système (A,tan â),(B,tan b),(C,c) a,b,c etant des angles. Soit ABC un triangle aculangle. Soit M,R,N les pieds des hauteurs respectivement issues de A,B,C et H l'orthocentre de ABC.
1)Je l'ai reussie: démontrer que AM=BMtan de l'angle B=CMtan de l'angle C.
2)Je l'ai faite: En déduire que M est le barycentre de (B, tan angle B),(C,tan angle C).
3) Conclure

Je vous remercie d'avance

[armor92]

Bonjour kaduflyer,

On a démontré que M est le barycentre de (B, tan b),(C,tan c).

On peut donc écrire :
(tan b + tan c) *vecteur(HM) = tan b * vecteur(HB) + tan c * vecteur(HC) (1)

Le vecteur(HA) est colinéaire au vecteur(HM), il existe donc un réel pa tel que :
pa * vecteur(HA) + (tan b + tan c) *vecteur(HM) = 0
C'est à dire d'après (1) :
pa * vecteur(HA) + tan b * vecteur(HB) + tan c * vecteur(HC) = 0 (3)

On peut démontrer de manière analogue que R est le barycentre de (A, tan a),(C,tan c).
On peut donc écrire :
(tan a + tan c) *vecteur(HR) = tan a * vecteur(HA) + tan c * vecteur(HC) (2)

Le vecteur(HB) est colinéaire au vecteur(HR), il existe donc un réel pb tel que :
pb * vecteur(HB) + (tan a + tan c) *vecteur(HR) = 0
C'est à dire d'après (2) :
tan a * vecteur(HA) + pb * vecteur(HB) + tan c * vecteur(HC) = 0 (4)

Si on soustrait la relation(3) à la relation (4), on obtient :
(pa - tan a) * vecteur(HA) + (tan b - pb) * vecteur(HB) = 0
(pa - tan a) * vecteur(HA) = (pb - tan b) * vecteur(HB).

Comme les vecteurs (HA) et (HB) ne sont pas colinéaires, la seule possibilité est :
pa = tan a et pb = tan b

On a donc prouvé la relation :
tan a * vecteur(HA) + tan b * vecteur(HB) + tan c * vecteur(HC) = 0

H est le barycentre du systême (A,tan a),(B,tan b),(C,tan c)

[kaduflyer]

Merci beaucoup de ton aide