DM barycentre et cosinus

[cricrilivia]

Bonjour j'ai un DM sur un exercice donné aux olympiades de lyon 2003.

Trois propriétaires P1, P2 et P3 disposent chacun d'une parcelle de terrain carrée, jouxtant un lac triangulaire ABC rectangle en A.
Ils décident de délimiter leurs "eaux territoriales" en plaçant une bouée M de telle sorte que les surfaces MAB, MBC et MCA soient proportionnelles aux aires des parcelles adjacentes.
Déterminer la position de cette bouée dans le lac.

J'ai plusieurs questions qui detaillent la démonstration mais je bloque sur les dernieres questions 10) et 11) Je marque toute les question pour avoir la logique de la démonstration.

On va démontrer que le point M solution du problème est le barycentre de (A,a²),(B,b²),(C,c²).

Tracer un point M à l'interieur du triangle. Nommer A' le point d'intersection de (AM) et (BC) et H le pied de la hauteurissue de A du triangle ABC.

1) demontrer Aire(AA'B)/Aire(AA'C)=A'B/A'C. J'ai trouvé

2) Soit K le pied de la hauteur issue de M dans le triangle MA'B
demontrer que Aire(A'MB)/Aire(A'MC)=A'B/A'C. J'ai trouvé

3)On demontre dans le cas general que si a/b=c/d alors a/b=c/d=(a-c)/(b-d). Grace a vous j'ai trouvé

4)on note Sa=Aire(MBC), Sb=Aire(MAC) et Sc=Aire(MAB) avec le 3 demontrer que A'B/A'C=Sc/Sb. J'ai trouvé

5) Montrer alors que A'=bar{(B,Sb);(C,Sc)}. J'ai trouvé

6)on montre de même que si (BM) coupe [AC] en B'alors B'=bar{(A,Sa),(C,Sc)}. J'ai trouvé

7) On pose G=bar{(A,Sa);(B,Sb),(C,Sc)} (Sa+Sb+Sc<>0). En utilisant le théorème d'associativite montrer que G est le point d'intersection de (AA') et de (BB'). En déduire G=M. J'ai trouvé.

8) Montrer que M=bar{(A,Sa),(B'Sb),(C,Sc)} equivaut à M=bar{(A,a²),(B,b²),(C,c²)}. J'ai trouvé

9) On admet A'=bar{(B,b²),(C,c²)} equivaut a A'=bar{(B,b²);(C,c²)}
Déduire du fait que A'=bar{(B,b²),(C,c²)} une égalité vectorielle entre vect(BA') et vect(BC). J'ai trouvé

vect(BA')=c²/(a²+c²)vect(BC)

----------------------------------------------------------------------------10) En déduire BA' en fonction de c et a, puis montrer que BA'=BAxcos(ABC).
| J'ai pas trouvé |

11) En utilisant le triangle BHA, montrer que A'=H.
| J'ai pas trouvé |
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Merci de m'aider

[Ericovitchi]

on l'a déjà traité plusieurs fois ce problème. Regardes là

ou là

ou encore là

[cricrilivia]

ok je vais voir
merci

[cricrilivia]

j'ai regardé, j'ai cherche et je ne trouve toujours pas comment demontrer que BA'=BA*cos(ABC)

aidez moi merci

[cricrilivia]

De la question precedente on trouve BA'=c²/(c²+b²)BC
avec Pythagore b²+c²=a²
donc BA'=c²/a²BC
Dans ABC cos(ABC)=AB/BC donc BC=AB/cos(ABC)

Donc BA'=c²/a²*AB/cos(ABC)

donc BA=cos(ABC)*BA'*a²/c²

Voila je suis bloqué

[cricrilivia]

ca yest j ai trouvé la solution etait tellement evidente que je ne la voyais pas

Au debut de l'ennoce on a AB=c et BC=a

donc BA'=AB²/BC²*BC=AB²/BC or cos(ABC)=AB/BC donc BA'=BA*cos(ABC)

Merci quand meme