DM avec ensemble de points

[wxcvbn1]

Bonjour,
J'ai un devoir maison a faire pour la rentré,
On donne A et B deux points distincts du plan tels que AB=6
On se propose d'étudier l'ensemble Ek des points M du plan tels que MA/MB=k
Quelques cas particuliers:
1) On suppose que k=1 donc MA/MB=1 ou MA=MB
Quel est l'ensemble E1? Le représenter
--> La j'ai réussi, c'est l'ensemble des points situés sur la médiatrice de AB

2)On suppose que k=2 donc MA=2*MB
*Déterminer et placer un point du segment [AB] appartenant à l'ensemble E2
--> La d'y suis arrivée
*Déterminer et placer un autre point de la droite ( AB) appartenant à l'ensemble E2
--> La aussi j'ai réussi
*Pour déterminer l'ensemble E2 complet, on se place das le repère orthonormé (O, I,J) tel que O soit le milieu de [AB]de I appartienne à la demi-droite [OB)
a) On note (a;0) les coordonnées de B
Que vaut a? Quelles sont les coordonnées de A?
--> Je ne suis pas ure mais je pense que a=3 et donc que A(-3;0)
b)Montrer qu'un point M du plan appartient a E2 ssi MA²=4MB²
--> La je ne voie pas comment faire
c) En déduire une équation de E2
--> La non plus je ne voie pas comment faire
d) Reconnaître l'ensemble E2 puis le tracer
--> Et la non plus je n'y arrive pas

Cas général avec k1
On suppose dans cette partie que k est différent de 1
On se place dans le même repère (O,I, J)que celui défini dans la partie A
1)Montrer qu'un point M du plan de coordonnées (x;y) appartient a Ek ssi:
x²+y²-6[(k²+1)/(k²-1)]x+9=0
--> Je ne voie pas comme montrer cela et d'ou ça vient

2)En déduire que Ek est un cercle dont on précisera les coordonnées du cente et le rayon en fonction de k(on distinguera deux cas selon la position de k par rapport a 1)
--> Je n'y arrive pas non plus

3)Tracer E5
--> Je pense qu'il faudrait remplacer l'inconnue k dans l'équation de la question 1) par 5 et on trouve une équation de droite

Merci d'avance pour votre aide

[Tiruxa]

a) On note (a;0) les coordonnées de B Que vaut a? Quelles sont les coordonnées de A? --> Je ne suis pas ure mais je pense que a=3 et donc que A(-3;0) C'est juste

b)Montrer qu'un point M du plan appartient a E2 ssi MA²=4MB² --> La je ne voie pas comment faire
On a MA=2MB, il suffit d'élever au carré les deux membres

c) En déduire une équation de E2 --> La non plus je ne voie pas comment faire

Pour le c) utilise les formules de calcul de distance : si M a pour coordonnées (x,y), on a

[Thomas Joseph]

Cela devrait t'aider pour la fin de la question 2 :
http://www.geogebratube.org/student/m110166

[paquito]

Ce n'est que du calcul pas trop méchant; tu aura toujours MA²=(x+3)²+y² et MB²=(x-3)²+y²; pour k=2, tu as MA²=4MB²; tu remplace, tu fais le calcul et tu essaies d'arriver à une équation qui commence par x²+y²; la dernière question te dis qu'il faut trouver l'équation d'un cercle.

[wxcvbn1]

Je trouve (x+3)^2+y^2=0 est-ce bien l'équation pour la c)?
Merci de vos réponses

[paquito]

Je trouve (x+3)^2+y^2=0 est-ce bien l'équation pour la c)?
Merci de vos réponses

C'est pas loin, mais tuas dû faire une étourderie car ton rayon est nul! Tu as dû faire 9-9 au lieu de 9+9.

[Thomas Joseph]

Ton équation est fausse.
Contre-exemple : (-3; 0) est solution. On a alors MA²=0 et 4MB² différent de 0.

L'équation à obtenir apparait dans le cadre de gauche sur la figure que je t'ai proposée précédemment.

Bonne journée.

[wxcvbn1]

Voilà ce que j'ai fait:
On pose M(x;y)
On a donc MA^2=(xa-x)^2 +(ya-y)
=(x+3)^2+y^2
MB^2=(3-x)^2+y^2
MA^2=2MB^2
(X+3)^2+y^2=2[(3-x)^2+y^2]
On développe et après j'obtiens x^2+6x+y^2+9=0
Donc (x+3)^2-9+y^2+9=0
D'où le fait que je trouve (x+3)^2+y^2=0
Je n'arrive vraiment pas a trouver mon erreur...

[paquito]

Essayons d'avancer; tu as AM²=(x+3)²+y² et BM²=(x-3)²+y², donc AM²=4BM²<=>

(x+3)²+y²=4((x-3)²+y²), donc c'est un exercice de calcul; applique toi et tu dois trouver:
(x-5)²+y²=16; si tu fais une figure, tu retrouveras celle donnée par Thomas Joseph.
Si tu est curieux, je te posterais une autre méthode de résolution.

[Thomas Joseph]

MA²=4MB² (comme l'avait signalé paquito)

[Thomas Joseph]

Bonjour Paquito,

tu as inversé AM et BM dans ta première ligne. (ton post précédent était par contre correct sur ce point).

[paquito]

Bonjour Paquito,

tu as inversé AM et BM dans ta première ligne. (ton post précédent était par contre correct sur ce point).

J'ai échangé A et B par pure étourderie;merci, je viens de rectifier.

[paquito]

Il y a quelque temps, on avait plus de résultats sur les vecteurs et une autre méthode indépendante des coordonnées.
On cherchait d'abord les solutions qui étaient sur (AB), il n 'y avait que 2 possibilités:
en termes de vecteurs G1A=2G1B ou G2A=-2G2B, on utilisait la relation de Chasles et on trouvait:
AG1=2AB et AG2=(2/3)AB. Ensuite on avait un résultat de cours facile à retrouver qui nous donnait, pour tous point M du plan MA-2MB=-MG1 et MA+2MB=3MG2.

Ce qui donnait MA²=4MB²<=>MA²-4MB²<=> (MA-2MB).(MA+2MB)=0 (ce sont des produits scalaires)<=>
-MG1.3MG2=0 ou MG1.MG2=0, ce qui définissait le cercle de diamètre [G1; G2].

Donc pratiquement pas de calcul, mais pas du tout plus facile.

[wxcvbn1]

Merci beaucoup
Par contre je n'arrive pas a démontrer l'équation de la question 1 de la deuxième partie ni a faire la question 2 pourriez vous m'aider ?
Merce d'avance

[Thomas Joseph]

Pour la nouvelle équation que tu recherches, la méthode à appliquer est toujours celle présentée par paquito hier à 18h10.
Seule différence : il faut penser à diviser les deux membres par (k²-1) à la fin (ce que tu as le droit de faire car k est supposé différent de 1).

Essaye d'avancer avec cela et demande ensuite si besoin.
Bonne soirée.

[paquito]

Voilà ce que j'ai fait:
On pose M(x;y)
On a donc MA^2=(xa-x)^2 +(ya-y)
=(x+3)^2+y^2
MB^2=(3-x)^2+y^2
MA^2=2MB^2
(X+3)^2+y^2=2[(3-x)^2+y^2]
On développe et après j'obtiens x^2+6x+y^2+9=0
Donc (x+3)^2-9+y^2+9=0
D'où le fait que je trouve (x+3)^2+y^2=0
Je n'arrive vraiment pas a trouver mon erreur...

Tu as fait tes calculs avec MA²=2MB² au lieu de MA²=4MB², c'est pour ça que ça ne marche pas; de plus, tu as dû faire une erreur de signe en développant (3-x)². Mais tu dois y arriver, il ne manque plus grand chose.

[wxcvbn1]

Oui je m'étais trompe. J'ai donc bien après trouvé l'équation du cercle pour ensuite le tracer.
Par contre pour le cas général avec k différent de 1 je trouve (1-k[sup]2[/sup])(x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup])+6x(1+k[sup]2[/sup])+9=0
Est ce égale a x²+y²-6[(k²+1)/(k²-1)]x+9=0 ?
Merci d'avance

[Thomas Joseph]

Il y a une erreur à la fin,
c'est 9*(1-k²)

Pour finir : relis la réponse que je t'ai donnée hier à 23h01

[wxcvbn1]

oui exact ce qui me donne bien la bonne equation a la fin!
Merci
Pour la suite voile ce que j'ai fais mais cela me semble bizare... je sais que le cercle de centre ;)(x;);y;)) de rayon R a pour equation cartésienne (x-x;))²+(y-y;))²=R² or je trouve donc que [x-3(k²+1)/(k²-1)]²+y²=3²
Cette equation de cercle me parait etrange, cela veut dire que le certre du cercle a pour coordonnées (3(k²+1)/(k²-1);0) et pour rayon 3

[Thomas Joseph]

Ta factorisation est trop rapide pou (x-xo)² (fausse), en conséquence le rayon changera, mais ta méthode est bonne