Arithmétique

[Anonyme]

bonsoir!voici la quention de mon devoir maison sur les congruences qui me pose probléme

quels sont les entiers Relatifs x pour lesquels on a simultanément

3x congru 1 (mod 5) et 5x congru 2 (mod 7) ???

je vous remercie beaucoup pour votre aide

[mathador]

Bonjour, il faut traduire les congruences en termes d'entiers :
(1) 3x = 5k + 1 (k un entier)
(2) 5x = 7k' + 2. (k' un entier)

Les coefficients nous gênent : on va faire une combinaison linéaire de (1) et (2) pour obtenir une nouvelle équation en x.

Calculons 2(2) - 3(1), on trouve x = 14k' + 4 - 15k - 3
donc x = 14k' - 15k + 1.

Il reste à vérifier qu'un entier x de cette forme répond effectivement au problème, ce que je te laisse faire (en espérant ne pas m'être trompé !!)

Amicalement

[rene38]

Bonsoir

Le problème est que k et k' ne sont pas indépendants.

Une autre approche : après avoir écrit
(1) 3x = 5k + 1 (k entier)
(2) 5x = 7k' + 2 (k' entier)
qui équivalent à
(1') 15x = 25k + 5
(2') 15x = 21k' + 6
ce qui entraîne
25k+5=21k'+6 et donc
25k-21k'=1
équation diophantienne qui a pour solution particulière k=-5; k'=-6
et pour solution générale k=-5-21n ; k'=-6-25n
(n entier quelconque) où on fait le lien entre k et k'.
En reportant ces valeurs dans (1) ou (2), on obtient la réponse à la question posée :
Les entiers relatifs x tels que 3x=1[5] et 5x=2[7] sont les entiers de la forme
x=-35n-8

[yos]

c'est-à-dire les entiers de la forme 35n-8.