Arithmétique Ts

[rahma]

bonjour
je bloque dans cette question:

Montrer que si a et b sont premiers entre eux alors (a+b) et ab sont premiers entre eux.

merci pour votre aide

[saintlouis]

Bonjour


Si a et b avaient un diviseur commun p , celui-ci diviserait a+b et ab
alors a+b et ab ne serait pas 1ers entre eux et réciproquement


ou si D'a;b) = 1;:D( ab; a+b) =1

[regis183]

et si tu essayais de montrer que pgcd(a*(a+b), ab)= a ?
hum j'ai un doute, pas sur que ca mrche.

[regis183]

saint louis seule la réciproque est demandée ici, et elle n'est pas si facile...

[m&ms]

Une tentative....

a et b sont premiers entre eux, il existe donc c et d entiers relatifs tq :

a.c + b.d =1 (sens direct du théorème de Bezout)

ce qu'on peut écrire aussi :

a.c + (b+a).d - a.d = 1
i.e a.(c-d) + (b+a).d = 1

donc d'après cette fois la réciproque du théorème de Bezout, a et b+a sont premiers entre eux, donc a ne divise pas b+a;

Par un raisonnement similaire, b ne divise pas b+a

Donc b+a n'étant divisible ni par a, ni par b, il ne l'est pas non plus par ab,
a+b et ab sont premiers entre eux.

[rahma]

merci pour votre aide..

[raito123]

Oui m&ms je pense que c'est bon!!

Je connais une autre methode pour démontrer cela :

a+b=a*1+b donc PGCD(a+b,a)=PCGD(a,b)=1 (1)

De même on Mq PGCD(a+b,b)=PCGD(a,b)=1 (2)

D'aprés (1) et (2) on a PGCD(a+b,ab)=1 (conséquence du théorême de Bezout)

[Huppasacee]

Bonsoir

Un petit raisonnement par l'absurde :

Soit p un diviseur commun de ab et (a+b)
il diviserait aussi b(a+b) , donc b(a+b)-ab, donc b²
De la même manière il diviserait a²
or a et b n'ont aucun diviseur commun !

[Huppasacee]

Autre démonstration

si p ( premier ) divise ab , il divise soit a soit b , disons a

S'il divise aussi (a+b) , alors il divise aussi (a+b) - a , donc il divise b

a et b ont donc un diviseur commun