Arithmétique

par **titine** » 20 Juin 2006, 17:07

Bonjour,
pourriez vous me donner une démonstation rapide de : n^2(n^2-1) est divisible par 12 pour tout entier n>0. (Je suis arrivée à le démontrer mais je suis sûre qu'il y a une démonstration plus simple )
Dans le même genre, comment démontre-t-on :
1) 3^(2n) - 2^n divisible par 7
2) n^(4n+1) - (n+1)4^n + 1 divisible par 9
3) 4^n + 6n - 1 divisible par 9
4) (a+1)^(n+1) - a(n+1) - 1 divisible par a^2 ( entier naturel quelconque)
Merci de votre aide.

par **aviateurpilot** » 20 Juin 2006, 17:26

=>parmi

, il y a au moin un multiple de 3
=>4 divise

ou

alors 4 divise A

par **Nightmare** » 20 Juin 2006, 17:26

Bonjour :happy3:

n²(n²-1)=n^4-n^2

(petit théorème de Fermat)
donc :

et par conséquent :

Ensuite si n est pair, n² est divisible par 4 donc n²(n²-1) l'est aussi.
Ainsi il est divisible par 3 et 4 et est donc divisible par 12

si n est impair, n-1 et n+1 sont pairs, donc (n-1)(n+1) soit n²-1 est divisible par 4
De même notre nombre est divisible par 3 et 4 et est donc divisible par 12

:happy3:

par **Nightmare** » 20 Juin 2006, 17:27

3^(2n)+2^n=9^n-2^n=(7+2)^n-2^n
conclus avec le binôme de Newton

par **aviateurpilot** » 20 Juin 2006, 17:39

1)

; 9-2=7 donc 7 divise

par **Mikou** » 20 Juin 2006, 18:12

4^n + 6n - 1 divisible par 9
Par recurrence 4^(n+1) +6(n+1) - 1
<=>(4^n +6n-1) +3*4^n +6
puis nouvelle recurrence sur 3*4^n - 6 = (3*(4^n +2 ))divisible par 9
3*(4^(n+1) +2) = 3*(4^n + 2) +9*4^n

Et c'est fini ...

par **Chimomo** » 20 Juin 2006, 18:46

Pour les deux réponses données de la première question, il manque un argument essentiel, je vous laisse le soin de trouver...

par **titine** » 20 Juin 2006, 21:59

En fait, j'avais fini pas trouvé toute seule !
Par contre je ne vois pas de quel argument il s'agit ...
D'autre par j'ai calé sur :
n^(4n+1) - (n+1)4^n + 1 divisible par 9.
J'ai essayé différente chose dont la récurrence mais je ne m'en sors pas ... peut-être y verrais je plus clair demain ...
Merci pour vos réponses.

par **BancH** » 20 Juin 2006, 22:19

aviateurpilot a écrit:il y a au moin un multiple de 3

Il y a exactement un multiple de trois.

Nightmare a écrit:3^(2n)+2^n=9^n-2^n=(7+2)^n-2^n

C'est pas plutôt + que - ?

titine a écrit:n^(4n+1) - (n+1)4^n + 1 divisible par 9.
J'ai essayé différente chose dont la récurrence mais je ne m'en sors pas ...

Si l'on prend

:

Or,

ne divise pas

.

par **BancH** » 20 Juin 2006, 22:52

aviateurpilot a écrit:1) ; 9-2=7 donc 7 divise

Je ne comprends pas à quoi sert l'étape

On a

divise

par **rene38** » 20 Juin 2006, 23:18

BancH a écrit:Je ne comprends pas à quoi sert l'étape

On a

???

par **rene38** » 20 Juin 2006, 23:21

Chimomo a écrit:Pour les deux réponses données de la première question, il manque un argument essentiel, je vous laisse le soin de trouver...

3 et 4 sont premiers entre eux donc un nombre divisible par 3 et par 4 est divisible par 3 x 4.

par **BancH** » 20 Juin 2006, 23:27

rene38 a écrit:On a ???

Oui, j'ai cru:

.

Grosse erreur.

par **rene38** » 20 Juin 2006, 23:40

BancH a écrit:Oui, j'ai cru: .

Grosse erreur.

Et c'en est une autre :

et 0 h 40 = l'heure d'aller reposer les neurones ...

par **BancH** » 20 Juin 2006, 23:48

rene38 a écrit:et 0 h 40 = l'heure d'aller reposer les neurones ...

Lol quand même pas, je voulais dire:

j'ai cru que

était égal à

.

Grosse erreur.

par **Chimomo** » 21 Juin 2006, 07:32

En effet la coprimalité est essentielle pour dire que si x est divisible par a et b alors il est divisible par a*b (sinon tout nombre divisible par 6 serait aussi divisible par 3 et 2 donc par 3*6*2=36 donc par 2*3*6*36, etc.....)

par **titine** » 21 Juin 2006, 08:24

Merci à tous.
En effte, il est normal que je n'arrive pas à démontrer :

divisible par 9

puisque c'est faux !
Il y a visiblement une erreur d'énoncé ... Le pire c'est que j'étais persuadée d'avoir testé !

par **tbotw69** » 21 Juin 2006, 09:06

BancH a écrit:Je ne comprends pas à quoi sert l'étape

On a divise

Horreur mathématique !!!

Prend n = 2, on a 81-4=77 et qu'en est il de 7² ? 49 !! Le "n" est à l'exposant, tu ne peux rien faire avec. La technique précédente était très juste

Edit : Excusez moi, j'ai pas vu qu'il y avait une deuxième page, j'ai posté trop vite ! :briques:

par **Mikou** » 21 Juin 2006, 09:47

BancH a écrit:Il y a exactement un multiple de trois.

C'est pas plutôt + que - ?

Si l'on prend :

Or, ne divise pas .

... ca marche au rang deux, donc par recurrence ca marche pour tout n superieur ou egal a 2

Une question ca tu aimes me contredire? ca fait bcp de post que tu parles pour ne pas dire grand chose d'utile

par **titine** » 21 Juin 2006, 10:33

Mikou a écrit:... ca marche au rang deux, donc par recurrence ca marche pour tout n superieur ou egal a 2

Une question ca tu aimes me contredire? ca fait bcp de post que tu parles pour ne pas dire grand chose d'utile

Je comprends pas ton message, qui contredit qui ... ?
D'autre part, pour n=2 :
n^(4n+1) - (n+1)4^n + 1 = 2^9 - 3*4^2 + 1 =465 qui n'est pas divisible par 9 !

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