Arithmétique

[Bertrand Hamant]

Bonjour


Soit x et y, entiers naturels non nuls vérifiant l'inégalité x < y

S l'ensemble des couples ( x ; y ) tels que pgcd ( x ; y ) = y - x

1) calculer Pgcd (363 ; 484 )

pgcd ( 363 ; 484 ) = 121 avec la division euclidienne

b) le coouple ( 363 ; 484 ) appartient à S car 484 - 363 = 121 = y - x = pgcd

2) Soit n un eniter naturel non nul , le couple ( n ; n+1 ) appartient-il à S

Pgcd ( n ; n + 1 ) = 1 avec bézout de plus y - x = 1 donc ce couple appartient à s

3 a) Montrer que ( x ; y ) appartient à S si et seulement s'il existe un entier naturel k tel que

x = k(y-x) et y = (k+1)(y-x)

soit x < y entier naturel pgcd ( x ; y ) = y-x que l'on notera A

il existe k dans N tel que x = k.A et y = (k+1).A avec k et k+1 premiers entre eux.

d'où x = (y-x)k et y= k+1(y-x)

4) en déduire que PPCM ( x ; y ) = k(k+1)(y-x)

Delta*Mu = x*y

y-x*(Mu) = k(y-x)* (k+1)(y-x)

Mu = k(k+1)(y-x) = PPCM ( x ; y )

5) déterminer l'ensemble des entier naturels diviseurs de 228

1;2;3;4;6;12;19;38;114;228

En déduire l'ensemble des copuple ( x ; y ) de S tel que PPCM ( x ; y ) = 228

je ne vois pas


est ce que le reste est bon ??????

[Mikou]

salut,
'a) Montrer que ( x ; y ) appartient à S si et seulement s'il existe un entier naturel k tel que
x = k(y-x) et y = (k+1)(y-x)'
Limplication est simple, je fais donc uniquement la reciproque :

pgcd(x,y)=x-y=D
<=>D=D(x'-y') ou x',y' sont premiers entre eux
<=>x'=y'+1
pgcd(y',y'+1)= 1 <=> (y-x)pgcd(y,y'+1)=pgcd((y-x)(y'),(y-x)(y'+1))=(y-x)
Donc x = (y-x)y' et y = (y-x)(y'+1)

[Bertrand Hamant]

c bon ce que j'ai fait ou pas ?

[Chimerade]

est ce que le reste est bon ??????

Presque ...

3 a) Montrer que ( x ; y ) appartient à S si et seulement s'il existe un entier naturel k tel que

x = k(y-x) et y = (k+1)(y-x)

soit x < y entier naturel pgcd ( x ; y ) = y-x que l'on notera A

il existe k dans N tel que x = k.A et y = (k+1).A avec k et k+1 premiers entre eux.

d'où x = (y-x)k et y= k+1(y-x)

En effet, ici tu as montré que si (x;y) appartient à S alors x=(y-x)*k et y=(y-x)*(k+1). Mais tu n'as pas montré la réciproque, à savoir que "si x=(y-x)*k et y=(y-x)*(k+1)" alors (x;y) appartient à S.

5) déterminer l'ensemble des entier naturels diviseurs de 228

1;2;3;4;6;12;19;38;114;228

Un diviseur de 228 aura donc la forme :


Avec :
, soit 3 valeurs possibles
, soit 2 valeurs possibles
, soit 2 valeurs possibles

Le nombre des diviseurs de 228 est donc : 3*2*2=12. Et tu n'en as indiqués que 10 : !

En déduire l'ensemble des copuple ( x ; y ) de S tel que PPCM ( x ; y ) = 228

Tu as montré que le PPCM d'un élément de S devait s'écrire : k(k+1)(y-x). Il faut donc trouver des paires de diviseurs [k,(k+1)]. Or il n'y en a que 3 : (1 et 2), (2 et 3) et (3 et 4). Cela nous donne donc :

k=1, k+1=2, (y-x)=228/1/2=114 : x=114, y=228
k=2, k+1=3, (y-x)=228/2/3=38 : x=76, y=114
k=3, k+1=4, (y-x)=228/3/4=19 : x=57, y=76

[Mikou]

la reciproque que j'ai proposé est juste, non ?

[Chimerade]

la reciproque que j'ai proposé est juste, non ?

Je ne sais pas : je ne l'ai pas comprise. Je me suis contenté de répondre à la question de Bernard. Je dirais simplement que cela manque un peu d'explications...Mais je ne dis pas qu'elle n'est pas bonne !

[Mikou]

Hum enfait lidée est bonne mais il me semble que la conlusion serait a refaire... tu peux donc t'en inspirer mais il faut ameliorer