Arithmétique pour les chauds

[benekire2]

Bonjour,
Alors aujourd'hui, je vous propose des exercices dont je n'ai pas la solution

Ce sont trois exercices d'arithmétique :

1) soit la courbe d'équation déterminer tout les points de C ayant des coordonnées entières.

2) Démontrer que est divisible par11

3) Résoudre dans Z: x²-3y²-4z²=3

Bonne chance a vous et dites moi quand vous trouvez, ça m'interesse^^

Bye

[Zweig]

1) Cela revient à résoudre dans :

Remarque que si est solution, alors l'est aussi. On peut donc se limiter au cas où les solutions sont naturelles. Comme 13 est premier, il ne se décompose en produits de deux facteurs que d'une unique manière : . De plus, (comme on est dans les naturels), d'où l'unique système à résoudre :




Ce qui nous donne , et d'après notre remarque on en déduit l'autre couple .

[benekire2]

C'est effectivement très joliment trouvé, très astucieux!!

[Zweig]

3) Remarque que le reste d'un carré dans la division euclidienne par 4 est toujours 0 ou 1. En effet :

- si est pair, , alors , d'où

- si est impair, , alors , et donc

On réduit modulo 4 l'équation. Comme , si est solution, alors

Or , d'où

Or d'après notre remarque initiale, on ne peut avoir que les cas suivants :





On ne peut donc avoir . Ainsi l'équation considérée n'admet aucune solution dans

[benekire2]

Pas marrant celle là c'est la seule que j'avais conjecturé :cry: En tout cas bravo!! La deuxième pour la route?

[Dinozzo13]

Et voilà la question 2°) ^^, ma justification est peut-être un peu lourde :we: :




Pour tout n naturel :
(1er terme du nombre)






Donc il existe un entier naturel k tel que pour tout k :





Donc
Par suite
(2e terme du nombre)

Par conséquent et donc donc est divisible par 11.

[benekire2]

C'est ça...
Alors j'en relance 3 du coup :

4) n est élément de N. Quel est le reste de la division euclidienne de 10^{9n}+2.10^{6n}+2.10^{3n}+1 par 1001 ?

5) Trouver tout les entiers naturels x y et z tels que: xyz=4(x+y+z)
avec 0
6) ( Je n'ai pas la solution, mas alors du tout :triste: ) Démontrer que pour qu'un nombre soit divisible par 6, il faut et il suffit que la somme du chiffre des unités et de quatre fois la somme des autres chiffres soit un multiple de 6.


Bon travail!

[benekire2]

Et puis pour finir, le dernier pour bien finir, très simple:
Montrer que pour a et n élément de N et n<3, n'admet pas de solution. ( Raisonner par congruences modulo 4 )

[oscar]

Bonjour

Pour le 6

Soit le nombre abcd
10= M.6 +4
10² = M.6+4
10³=M.6+4


=> abcd = M.6 + 4 ( a+b+c+d)

[Zweig]

C'est ça...
Alors j'en relance 3 du coup :

4) est élément de N. Quel est le reste de la division euclidienne de par 1001 ?

5) Trouver tout les entiers naturels x y et z tels que:
avec 0<x=<y=<z .

6) ( Je n'ai pas la solution, mas alors du tout :triste: ) Démontrer que pour qu'un nombre soit divisible par 6, il faut et il suffit que la somme du chiffre des unités et de quatre fois la somme des autres chiffres soit un multiple de 6.

Bon travail!

4) Rien de bien compliquer, on utilise les congruences mod 1001 en utilisant le fait que

5) Par hypothèse :

Y a plus qu'à faire une disjonction de cas.

6) Soit un entier naturel avec ses chiffres.



Or

D'où :

Reste à montrer le résultat suivant :

C'est direct :
Ainsi,

[Zweig]

Pour le dernier exercice, c'est assez naturel de regarder mod 4 par rapport à la présence du carré et de .

Pour, si est solution, alors on doit avoir , ou encore, , impossible

Pour , on vérifie qu'il n'existe aucun .

[benekire2]

Ah, c'est bien pensé la 5!

Allez, équation modulaire très simple également:

[Zweig]

Pour la 4), on montre que
Y a plus qu'à faire une disjonction de cas sur la parité de .

[benekire2]

Pour la 4), on montre que
Y a plus qu'à faire une disjonction de cas sur la parité de .

oui, en fait j'ai été trop vite et j'avais pas vu, mais au final j'y suis arrivé.

[Timothé Lefebvre]

Allez, équation modulaire très simple également:

M'est avis que ce serait plus cool si on faisait une généralisation :zen:

Du genre

[Zweig]

http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=607806&postcount=51

[benekire2]

M'est avis que ce serait plus cool si on faisait une généralisation :zen:

Du genre

J'attends de voir le morceau mdr

[Timothé Lefebvre]

http://www.maths-forum.com/showpost.php?p=607806&postcount=51

Je sèche :lol2:

[Timothé Lefebvre]

J'attends de voir le morceau mdr

Ca se traite soit en faisant une étude de cas sur n si t'as du temps à perdre. Ca me paraît assez long.

Sinon je crois qu'il y a quelque chose qui existe, comme le log discret pour traiter ça.
Et sinon, au pire je sais que tu peux mettre l'indicatrice d'Euler à la place de n et raisonner comme ça.

Tu tentes ?

[benekire2]

non je tente pas pour le moment... C'est légèrement chaud. La réponse à mon équation était 0, 1 ou 4 .