Pbl pour exo spé math arithmétique

[Maundlanne]

Bonjour !
Je suis en plein révision du bac et je suis tomé sur un exercice proposant différentes propositions. Il faut dire si elles sont vraies ou fausses, et justifier. J'ai réussi à toutes les faire, sauf une, que voici : " il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a < b et ppcm(a, b) ;) pgcd(a, b) = 1 "
Quelqu'un peut me dire si c'est vrai ou faux, et justifier ??
Merci

[Sylviel]

Bonjour,

remarque que l'un est multiple de l'autre...

[DamX]

[quote="Maundlanne"]Bonjour !
Je suis en plein révision du bac et je suis tomé sur un exercice proposant différentes propositions. Il faut dire si elles sont vraies ou fausses, et justifier. J'ai réussi à toutes les faire, sauf une, que voici : " il existe un seul couple (a ; b) de nombres entiers naturels, tel que a 1. on imagine donc que a doit être "petit"

Ecrivons ce que cela veut dire : on écrit le multiple sous la forme k*a, avec k entier >= 1, et le diviseur par a/d, avec d entier >= 1 (et d =0.
- Si kd-1 = 0, a*(kd-1)=0, ce n'est pas possible,
- Si kd-1 >=1, on a a*(kd-1)>=a, or on a également a>=d, donc nécessairement on doit avoir kd-1 = 1 et d = a, c'est à dire k*d = 2, et d = a, or comme k>=1, on a deux possibilités : a = 1 et k = 2, ou a = 2 et k=1.

Ainsi pour résumer, si (a,b) vérifie ppcm(a, b) pgcd(a, b) = 1, alors nécessairement a comme b valent soit 1, soit 2. en revenant à ppcm(a, b) pgcd(a, b) = 1, il faut que a et b soit distincts pour que cela marche, par exemple (a= 1 et b = 2) ou (a= 2 et b = 1).

Si on rajoute la condition a<b comme dans l'énoncé, il ne reste plus qu'une seule possibilité ..

J'espère ne pas trop embrouiller avec mes explications.

Damien

[Maundlanne]

Bonjour,

remarque que l'un est multiple de l'autre...

Je sais que pgcd(a, b) . ppcm(a, b) = ab mais je ne vois pas comment cela m'arrange, même en remplaçant dans l'égalité