Arithmétique : Congruence

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Marcadal Maxime
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Arithmétique : Congruence

par Marcadal Maxime » 31 Oct 2009, 11:29

Bonjour! Pouvez-vous m'éclairer afin que je trouve la bonne méthode svp. Voici l'exercice:

Soit p un nombre premier. On considère les deux équations suivantes: (E) : 6n² + 5n + 1 = 0 et (Em) : 6n² + 5n + 1 congru à 0 modulo 7. On note P le nombre 6n² + 5n + 1

On a justifié que P est congru à -n² + 5n + 1 modulo 7 et on souhaite réaliser une "mise en forme canonique modulo 7". Pour cela on a trouver un entier b tel que -(n-b)² congru à -n² + 5n - b² modulo 7 ce qui équivaut à 2b congru à 5 modulo 7. On sait donc que b = 6 en dressant le tableau donnant les restes de la division euclidienne de 2x par 7 pour x entier compris entre 0 et 6.

A l'aide des questions précédentes, déterminer deux entiers naturels b et c, compris entre 0 et 6, tels que (Em) est équivalente à l'équation -(n-b)²+c congru à 0 modulo 7.

Sauriez-vous m'éclairer?



Marcadal Maxime
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par Marcadal Maxime » 31 Oct 2009, 17:46

J'aurai une autre question à préciser:

Le polynôme 6n²+5n+1 admet-il une factorisation de la forme a(n-b)(n-c) avec a, b et c entiers?

Aidez-moi svp

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 31 Oct 2009, 19:12

Marcadal Maxime a écrit:J'aurai une autre question à préciser:

Le polynôme 6n²+5n+1 admet-il une factorisation de la forme a(n-b)(n-c) avec a, b et c entiers?

Aidez-moi svp



Le vaut 1.
Il se factorise en produit d'entiers naturels.
Il suffit de dispatcher les facteurs de 6=

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 31 Oct 2009, 19:26

Marcadal Maxime a écrit: -n² + 5n - b² modulo 7


c'est compliqué, je ne sais pas comment on présente les choses
en Term.

disons que le modulo 7 est compatible avec l'addition et
la multiplication (et aussi avec la division dans ce cas-ci où 7 est premier)



en effet , dans les congruences, on peut remplacer n'importe
quel élément par un autre élément de la même classe.

ainsi -5 et 2 ne peuvent pas être distingués.




il ne reste plus qu'à espérer que 2 est un carré.

Marcadal Maxime
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par Marcadal Maxime » 31 Oct 2009, 19:27

Merci busard seulement je ne suis pas sûre d'avoir tout compris peux-tu être plus précis s'il te plaît?

Marcadal Maxime
Membre Naturel
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par Marcadal Maxime » 31 Oct 2009, 19:34

Merci busard je vais continuer à travailler à partir de tes indications!

 

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