Applications et injection

[Olympus]

Bonsoir,

bon voilà j'ai un petit exo pour Lundi, et je coince quand même dans la deuxième question...



Pour la première, c'est relativement simple si on part du principe que f(E)=F vu que f est surjective . Mais pour la deuxième, j'ai parcouru pas mal de pistes mais aucune ne m'a conduite au résultat ... :triste:

Pourrais-je avoir un petit coup de main si possible ? Bien sûr, je ne veux qu'un ou deux indices

Merci d'avance !

[Nightmare]

Salut !

Eh bien il suffit d'écrire ce qu'on veut !

Soit y dans f(E\A), il existe x dans E mais pas dans A tel que f(x)=y

Supposons que y soit dans f(A), il existerait donc x' dans A tel que f(x')=y, alors f(x')=f(x) d'où x'=x, absurde puisque l'un est dans A et pas l'autre !

[Olympus]

Bonjour,

l'idée de raisonner à l'absurde ne m'était pas venue à l'esprit vu que j'essayais d'y parvenir avec l'algèbre des sous-ensembles ...

Merci beaucoup pour votre aide :we:

[Olympus]

Hum, je viens de trouver une solution beaucoup plus sexy faisant appel à l'algèbre des sous-ensembles, mais j'utilise la propriété ( qu'on n'a pas encore fait en classe ) :

Mais comment démontrer cette propriété ?

[Nightmare]

Par double inclusion par exemple non ?

[Olympus]

Par double inclusion par exemple non ?

Ce qui revient à trouver une écriture comme celle-ci

Mais je n'y arrive pas à vrai dire ...

[Nightmare]

On prend y dans f(A) U f(B)

Cela veut dire que soit y est de la forme f(x) avec x dans a, soit il est de la forme f(x') alors x' dans B, on est d'accord? Dans les deux cas, y=f(x) ou y=f(x') est bien dans f(AUB) (puisqu'il s'écrit bien sous la forme f(z) avec z dans A ou B)

Réciproquement, si l'on prend y dans f(AUB), c'est donc que y est de la forme f(x) où x est soit dans A, soit dans B, c'est donc que y est dans f(A)Uf(B).

Résumons :

Si l'on prend un élément dans f(A)Uf(B), il est dans f(AUB) (c'est la première partie)
Si l'on prend un élément de f(AUB), il est dans f(A)U(B) (c'est la deuxième partie)

Conclusion, f(AUB)=f(A)Uf(B)

:happy3:

[Olympus]

Merci !

J'ai raisonné en même temps comme ceci :

Montrer que revient à montrer que .

Supposons par l'absurde , càd que .

Posons A=B

Donc

Càd

La valeur de vérité de cette dernière proposition étant bien sûr F ( car c'est absurde ), la proposition devient vraie .

[Nightmare]

Attention à la négation de A <=> B !

[Olympus]

Attention à la négation de A B !

Euh pourquoi ? Selon le tableau de vérité, la négation de A B est A neg(B), ou alors neg(A) B .

[Olympus]

J'ai vrai je suppose ? :-)

[Nightmare]

A <=> B veut dire "A => B et B=>A" dont la négation est non (A=>B) ou non(B=>A)

C'est à dire, soit on a "B et non A", soit on a "A et non B" !

[Olympus]

A B veut dire "A => B et B=>A" dont la négation est non (A=>B) ou non(B=>A)

C'est à dire, soit on a "B et non A", soit on a "A et non B" !

Je t'invite à faire la table de vérité de non(AB), non(A)B et Anon(B) . Tu verras qu'ils ont tous les trois les mêmes valeurs de vérité, et que non(AB) équivaut bel et bien à Anon(B)

Je crois l'avoir déjà démontré avec l'algèbre de Boole il y a quelques années mais c'était un vrai casse-tête

En tout cas, la démonstration avec la table de vérité est très simple .