[1èreS] Application du scalaire dans un pentagone

[Anonyme]

Bonsoir,
je vous prie de m'excuser de ce message assez long,
mais je pense qu'il me faut exposer à la fois
l'énoncé de l'exercice et les idées que j'ai eues ;
je bloque principalement dans les questions 1, 2 et 4b.

"(O ; i, j) est un repère orthonormal direct, ABCDE est un pentagone régulier
disposé comme l'indique la figure ci-dessous.

1) Démontrez que (OA) et (OB) sont des axes de symétrie du pentagone
2) Démontrez que OB+OE et OC+OD sont des vecteurs
colinéaires au vecteur OA

3) a/ Déduisez des questions précédentes que
OA+OB+OC+OD+OE est colinéaire à la fois à OA et OB
b/ Déduisez en que OA+OB+OC+OD+OE = 0
c/ Calculez les coordonées du vecteur OA+OB+OC+OD+OE dans le repère (O ; i, j).

4) a/ Déduisez-en que 1 + 2cos(2"pi"/5) + 2cos(4"pi"/5) = 0
b/ On pose cos(2"pi"/5) = x
Démontrez que x est solution de l'équation 4x² + 2x - 1 = 0
Déduisez-en cos(2"pi"/5)

5) Déduisez-en sin(2"pi"/5) ; cos("pi"/10) ; sin ("pi"/10) ; cos ("pi"/5)"

J'imagine avoir bon à quelques questions :

1) Ceci semble au premier abord évident, mais je ne vois finalement
pas de solution certaine ; j'ai pensé utiliser le fait qu'il y a des triangles isocèles donc certaines médiatrices sont automatiquement axes de symétrie, mais je doute.

2) Je suppose qu'en prenant (OA) comme référence, on peut dire que
(OA ; OE) = -(OA ; OB) et par conséquent, OB+OE = k*OA
Il en irait ainsi pour OC+OD=n*OA.

3) a/ Ce calcul revient au final à (k+n+1)*OA, d'où la colinéarité.
En reprenant les raisonnement précédents, on trouve que ce calcul
équivaut également à (k+n+1)*OB
b/ Un vecteur ne peut être colinéaires à deux autres vecteurs qui ne le sont pas entre eux qu'en étant nul, j'imagine.
c/ A moins que je ne me trompe, les coordonnées
d'un vecteur nul sont (0 ; 0)

4/ a) Je pense qu'ici 1 équivaut à cos(OA ; OA) ;
2cos(2"pi"/5) = cos(OA ; OB) + cos(OA ; OE) et ainsi de suite.

b/ C'est cette question-ci qui m'empêche d'avancer.

5) J'imagine qu'en alternant les applications du produit scalaire
et la formule sin² + cos² = 1 je puis en venir à bout ...


Sur ce, je remercie par avance ceux qui voudront bien répondre,
et vous souhaite bonne (fin de) journée.

PS : je vous prie de m'excuser si ce message est peu clair,
principalement à cause de Pi

[Darko]

1) Tu peux effectivement dire que (OA) est la médiatrice de [CD] et de [BE], donc en déduire l'image des points B,C,D,E par la symétrie d'axe (OA) et donc l'image du pentagone serait le meme pentagone (mais "retourné").
C'est assez direct, il faut juste le rédiger!

2) En effet tu as raison, remarquons que, en notant S la symétrie d'axe (OA), S(OB)=OE (avec S(OB), OB, et OE des vecteurs)
Donc vectoriellement, OB+S(OB)=nOA
On pourait exprimer n, mais je ne pense pas que ce soit nécéssaire.
De meme pour OC et OD

3)Tout est bon, le seul vecteur qui peut etre colinéaire à 2 vecteur libre (=2 vecteurs qui ne sont pas colinéraires) est le vecteur nul, de coordonnées (0,0).

4)a) Projette ton égalité vectorielle OA+OB+OC+OD+OE=0 sur l'axe OA
N'oublions pas que OA=1 (de meme pour OB,OC,OD,OE).On le voit sur la figure puisque le vecteur OA est égale au vecteur i qui est de norme 1, puisque (O,i,j) est orthonormal.

4)b) Là, en 1ère je ne vois pas trop comment faire, mais il suffit de savoir que (cos(a))^2=1/2[1+cos(2a)]
Avec ça et en utilisant la question précédente, puis en résolvante l'équation 4x² + 2x - 1 = 0 (avec le discriminant) je pense que devrait y arriver!!

Ca va jusque là?

PS:Ton message est très clair et très précis par rapport à certain poste peux rigoureux, personnelement, ça me motive à t'aider.
"Pi" est courament écris sous cette forme dans les forums, t'en fais pas!

[Anonyme]

Ah, je vois,
c'est maintenant très clair,
et je t'en remercie beaucoup !
Je devrais désormais devoir m'en sortir !
Merci encore,
et bonne (fin de) journée !