Application du produit scalaire

[Ashleyy]

Bonjour, si vous pouviez m'aider pour cet exo..

1) Démontrer que, pour tous points A, B, C et D du plan, on a : AB²-BC²+CD²-DA² = 2 vecteur AC.vecteur DB
2)a) En déduire que si ABCD est un losange, alors les droites (AC) et (BD) sont perprendiculaires.
b) Démontrer que la réciproque n'est pas vraie.


Merci d'avance !

[Dr Neurone]

Bonjour Ashley ! Tu arrives à suivre dans tous ces feuilletons des "feux de l'amour"? moi non plus je comprends pas tout .

Bien .Mode opératoire pour la 1)
On part de AB²-BC²+CD²-DA² .
1° AB² - BC² et CD²-DA² diff. de 2 carrés à factoriser
2 ° Factoriser AC
3° Effectuer ce qu'il y a dans la parenthèse et utiliser Chasles.
Le compte est bon.

2 ) ABCD est un losange si ses cotés sont ...
ce qui se traduit dans le 1er membre de l'égalité du 1) par ...
Donc le 2ème membre = ... d'ou ...

3) Pour te convaincre de la non réciprocité de l'implication trouvée au 2) , trace par exemple la croix de Jésus , elles constituent les diagonales perpendiculaires d'une figure qui n'est pas un losange .
En fait les extémités de 2 segments perpendiculaires déterminent un quadrilatère qui n'est pas forcément un losange vu que ces 2 segments ne se coupent pas d'office en leur milieu .