Application R-linéaire

[Bastien L.]

Bonsoir à tous!


En lisant un cours sur les complexes, je tombe sur la notion d'"application -linéaire"… Quelqu'un pourraît-il m'éclairer? J'ai fait une rapide recherche web, mais comme ce que j'ai trouvé m'inquiète un peu (ça risquerait de m'amener un peu trop loin du chapitre que je révise), je m'en remets à vous pour juste comprendre de quoi il s'agit… :happy2:

Pour information, dans l'article, c'est de Re et Im qu'on dit qu'elles sont -linéaire, et cela est expliqué par la phrase:

Quels que soient Z et Z', deux complexes, et quel que soit lambda, un réel, la partie réelle de la somme de Z et lambda Z' est égale à la somme de la partie réelle de Z et de lambda fois la partie réelle de Z' (…)

, de même pour Im.

Voilà! Donc, en gros, dans le cas général, qu'est-ce que c'est que cette notion, et à quoi est-ce que ça sert, s'il-vous-plaît?


D'avance, merci! :happy2:


P.-S.: :marteau: Dans le même cours est évoquée la notion de "morphisme de corps", pour laquelle c'est le même problème: sans trop rentrer dans les détails, que faut-il en comprendre? :happy2: Merci!

[pusep]

EN gros une application linéaire est une fonction telle que si c est un réel, alors

f(c.x+x')=cf(x)+f(x')


Un morphisme de corps est une application linéaire entre 2 corps, un corps étant un anneau (en fait un ensemble(ici R) muni de loi de composition + Et x par exemple, qui sont l'addition et la multiplication) dont tous les éléments sont inversibles ( dans R, cela signifie que chaque nombre a un inverse)

[pusep]

Pour IM et RE tu as bien Im(k(a+ib)+(c+id))=kIm(a+ib)+Im(c+id) et pareil avec Re donc cest une application linéaire

[krisstucker83]

en fait f est une R application lineaire si:
pour tout x,y ER f(x+y)=f(x)+f(y) et pour tout kER f(kx)=kf(x).
enfin e mon souvenir, mais ca me semble un peu élevé pour un lyceen

[pusep]

on voit ça en math sup

[Bastien L.]

Merci pour vos réponses. Avez-vous des exemples (non-triviaux) de fonctions -linéaires de la variable réelle?

D'autre part, comment démontre-t-on que Re et Im en sont?

Merci…

[pusep]

ben Pour Re

Soit x=a+ib et y=f+ig dans C, c dans R

Re(c*x+y)=Re(ca+cib+f+ig)=Re(ca+f+i(cb+g))=ca+f=cRe(x)+Re(y) et pareil pour Im

[Nightmare]

Salut,

les applications R-linéaires de R dans R sont celles que tu connais bien, les où k est un réel quelconque (appelées homothéties).

[Bastien L.]

Merci!

Donc, les applications -linéaires de la variable réelle sont toutes les fonctions dîtes justement "linéaires", et uniquement celles-ci, c'est bien cela?

Édit: En fait, c'est évident que toutes les fonctions linéaires sont des applications -linéaires… En revanche, pour démontrer qu'elles sont les seules…