[1eS] Aire maximale d'un triangle/aire minimale d'un quadril

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Citron
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[1eS] Aire maximale d'un triangle/aire minimale d'un quadril

par Citron » 03 Oct 2013, 22:13

Bonsoir (:
J'ai un DM à rendre dans quelques temps et dont j'aimerai me débarrasser rapidement.
Malheureusement, j'ai pu comprendre [en demandant au prof] qu'il fallait utiliser la trigonométrie, chose que je ne maîtrise absolument pas, de plus nous n'avons strictement rien vu là-dessus en cours, je suis donc paumé pour les 2 malheureuses questions qui en plus demandent une bonne justification ._.

Voici l'énoncé :
A et B sont deux points du plan tels que AB = 1. M est un point du segment [AB]. On construit dans le même demi-plan les points P et Q tels que AMP et MBQ sont des triangles équilatéraux.

1. Déterminer la position de M qui rend maximale l'aire du triangle MPQ.

2. Expliquer pourquoi cette position rend minimale l'aire du quadrilatère ABQP

Je vous donne d'ailleurs un fichier geogebra fait pas mes soins montrant la figure (en plus elle est modulable, c'est super) :
https://dl.dropboxusercontent.com/u/47007147/DM3.ggb

En somme, je n'ai que mes maigres connaissances en la matière pour faire ça, en espérant que quelqu’un puisse m'éclairer, merci d'avance et bonne soirée !



siger
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par siger » 03 Oct 2013, 22:46

bonsoir

si tu n'as rien vu en cours sur la trigonométrie cette annee, es-tu certain de n'avoir pas vu la defintion des lignes trigonometriques les annees precedentes ?
.... en particulier la definition du sinus et du cosinus dans un triangle rectangle!
( du genre le cote adjacent sur le cote opposé, ....)

tu connais dans le triangle deux cotes MP et MQ ainsi que leur angle ( 60°), tu peux donc calculer la hauteur du triangle correspondant a un cote et ... l'aire du triangle MPQ

mathafou
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par mathafou » 04 Oct 2013, 00:17

siger a écrit:... trigonométrie ...

Bonjour,
y a-t-il vraiment besoin de la trigonométrie dans cet exo ??
Image
la hauteur d'un triangle équilatéral n'en a pas besoin (Pythagore suffit) et donc son aire. (de ABN, de AMP et BMQ)
ensuite c'est sommes et différences d'aires ...

siger
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par siger » 04 Oct 2013, 17:25

Re

C'est vrai, mais puisque "Citron" semblait vouloir parler trigo......

Il suffit de remarquer que la hauteur issue de P dans le triangle PMQ est egale a la hauteur issue de P dans le triangle APM ........

mathafou
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par mathafou » 04 Oct 2013, 23:11

siger a écrit:Il suffit de remarquer que la hauteur issue de P dans le triangle PMQ est egale a la hauteur issue de P dans le triangle APM ........

ça nous fait une belle jambe
quand M varie cette hauteur et la base associée MQ varient toutes deux, et du coup le calcul direct de l'aire de PMQ est encore plus moche que par la trigo.

par contre
aire de AMP = x² sqrt(3)/4 (formule de l'aire d'un triangle équilatéral, hauteur PH via Pythagore si trou de mémoire)
aire de MBQ = (1-x)² sqrt(3)/4
aire de ABN = 1² sqrt(3)/4
aire de MPQ = (1/2) (aire de ABN - aire de AMP - aire de MBQ)

et on est amené à maximiser 1 - x² - (1-x)² et c'est quasiment fini.

siger
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par siger » 04 Oct 2013, 23:53

re

Desolé,je dois avoir raté quelque chose .....

Soit L ( sur MQ) le pied de la hauteur issue de P dans le triangle MPQ
les triangles rectangles PHM et PLM ( voir votre dessin) sont egaux ( un cote commun et deux angles de 60°)
donc PL = PH = V(3)*x/2
l'aire du triangle PMQ est alors egale a PL*QM/2 soit V(3)*x*(1-x)/4

.....tres moche comme calcul effectivement!

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chan79
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par chan79 » 05 Oct 2013, 00:43

salut
si on prend MQ comme base de MPQ
aire de MPQ=

cette aire est maximum si x(1-x) est maximum
soit si x(x-1) est minimum
soit si x²-x est minimum
soit si x²-x+1/4 est minimum
soit si (x-1/2)² est minimum
soit si x=1/2

mathafou
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par mathafou » 05 Oct 2013, 12:40

siger a écrit:....tres moche comme calcul effectivement!

oui, abominablement moche :zen: . c'est plutot moi qui ai raté une marche en ne tiltant pas immédiatement sur MQ = MB
ceci dit calculer la hauteur avec sin(60°) ou Pythagore c'est moche ni l'un, ni l'autre.

j'étais parti sur un problème plus général où les triangles ne sont pas équilatéraux (donc exit MQ = MB) dans lequel (tiens comme c'est curieux) on aboutit à "maximiser x(1-x)" aussi.

 

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