Aire du domaine entre 4 courbes

[MAIS_DIT]

Bonsoir,
Je sais calculer l'aire du domaine sous la courbe qui se situe entre une courbe, l'axe des abscisses et deux droites d'équations x=a et x=b mais comment faire pour calculer l'aire du domaine entre 4 courbes ?

Par exemple, l'aire entre la droite d'équation f(x)=1/x , g(x)=2/x, y=ax et y=bx (a>b) ?

Merci d'avance pour vos suggestions !

[chan79]

salut
Je ferais: aire du rectangle - (somme des aires des 4 zones)



On pourrait penser aux coordonnées polaires, mais ça risque de compliquer ...

[MAIS_DIT]

La fonction se présente comme ceci,
Il y'a 4 fonction
: 1/x
: 2/x
: une fonction notée ax
: une fonction notée bx
par lecture graphique je déduis que ax=2x et bx=1/2(x) mais visiblement je n'ai pas le droit de raisonner de cette facon et je dois composer uniquement avec du calcul littéral.

Sachant que je n'ai pas le droit d'utiliser aucune valeur numérique, comment exprimer le calcul de l'aire du rectangle ? Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Surtout, je pense que ça serait plus "joli" de trouver l'aire dans le cas général, c'est à dire avec a et b quelconques et pas uniquement dans un cas particulier (en supposant quand même 0<a<b pour que les droites aillent "vers le haut" et qu'on sache laquelle est "au dessus" de l'autre)

Tu peut même généraliser un peu plus en disant que les deux hyperboles, c'est y=c/x et y=d/x : (avec 0<c<d) ça va pas changer grand chose aux calculs et ça permet de gagner du temps vu qu'au fond, il n'y a plus qu'un seul point d'intersection à chercher puis il suffit de changer les lettres...

A mon avis, quelque soit la décision que tu prend (cas particulier ou cas général), ou vu du dessin, le premier truc est de chercher les 4 points d'intersection qui rentre en jeu dans le problème.

Après, tu pourra faire soit comme le préconise chan ou alors tu coupe ta surface en 3 en traçant les droites verticales passant par les points D et E du dessin de chan et tu calcule les 3 aires correspondantes en disant que, dans les 3 cas, tu as affaire à des portions délimitées par deux fonctions en haut et en bas et par des droites verticales à gauche et à droite (cas dont tu as dit que tu connaissait la méthode de résolution)

Edit : j'obtient

[MAIS_DIT]

Salut,
Surtout, je pense que ça serait plus "joli" de trouver l'aire dans le cas général, c'est à dire avec a et b quelconques et pas uniquement dans un cas particulier (en supposant quand même 0<a<b pour que les droites aillent "vers le haut" et qu'on sache laquelle est "au dessus" de l'autre)

Tu peut même généraliser un peu plus en disant que les deux hyperboles, c'est y=c/x et y=d/x : (avec 0<c<d) ça va pas changer grand chose aux calculs et ça permet de gagner du temps vu qu'au fond, il n'y a plus qu'un seul point d'intersection à chercher puis il suffit de changer les lettres...

A mon avis, quelque soit la décision que tu prend (cas particulier ou cas général), ou vu du dessin, le premier truc est de chercher les 4 points d'intersection qui rentre en jeu dans le problème.

Après, tu pourra faire soit comme le préconise chan ou alors tu coupe ta surface en 3 en traçant les droites verticales passant par les points D et E du dessin de chan et tu calcule les 3 aires correspondantes en disant que, dans les 3 cas, tu as affaire à des portions délimitées par deux fonctions en haut et en bas et par des droites verticales à gauche et à droite (cas dont tu as dit que tu connaissait la méthode de résolution)

Edit : j'obtient

J'ai tout compris ! Vous êtes géniaux, merci beaucoup !

[MAIS_DIT]

J'ai tout compris ! Vous êtes géniaux, merci beaucoup !

En fait non. Je me suis emballé trop vite.
Si je suis cette méthode, je vais calculer l'aire de toute la partie colorée (aire rose et jaune inclues)


Mais comment calculer uniquement l'aire rosée ?

[Ben314]

Non, ça te permet parfaitement de calculer l'aire en rose.

Dans la première "zone" tu calcule l'aire entre y=c/x et y=bx (i.e. entre l'hyperbole du bas et la droite du haut)
Dans la première "zone" tu calcule l'aire entre y=c/x et y=d/x (i.e. entre les deux hyperboles)
Dans la troisième "zone" tu calcule l'aire entre y=ax et y=d/x (i.e. entre la droite du bas et l'hyperbole du haut)

[MAIS_DIT]

Non, ça te permet parfaitement de calculer l'aire en rose.

Dans la première "zone" tu calcule l'aire entre y=c/x et y=bx (i.e. entre l'hyperbole du bas et la droite du haut)
Dans la première "zone" tu calcule l'aire entre y=c/x et y=d/x (i.e. entre les deux hyperboles)
Dans la troisième "zone" tu calcule l'aire entre y=ax et y=d/x (i.e. entre la droite du bas et l'hyperbole du haut)

Ah bah oui ! J'avais mal observé. Merci beaucoup !

[Ben314]

Le seul truc chiant, c'est qu'à priori, il y deux calculs différent à faire selon où sont situés les deux points d'intersection "du milieu".

Mais il y a moyen de contourner le problème : si on note x1,x2,x3,x4 les abscices des points d'intersection des courbes, le problème, c'est donc qu'on sait pas (dans le cas général) si x2 est avant ou après x3.
Mais en fait, il suffit de calculer :
La surface sous la droite du haut (et au dessus de l'axe des x) entre x1 et x2 PLUS la surface sous l'hyperbole du haut entre x2 et x4 MOINS la surface sous l'hyperbole du bas entre x1 et x3 MOINS la surface sous la droite du bas x3 et x4.

(j'ai la flemme de faire un dessin... :dodo: )

[chan79]

Edit : j'obtient

Oui, on arrive à ça en passant en coordonnées polaires.
devient

Mais ce n'est pas de niveau lycée.

[Ben314]

Un truc (plus ou moins) marrant (mais très bête) auquel j'avais pas fait gaffe au début, c'est que si on prend un point M sur une hyperbole y=c/x et son projeté orthogonal H sur la droite Ox, alors clairement, la surface du triangle OHM ne dépend pas de M vu que basexhauteur=x.a/x=a.

Ça montre que la surface sous la droite du haut entre x1 et x2 est la même que la surface sous la droite du bas entre x3 et x4 donc que dans le calcul de la surface du bidule, elles s'annulent et qu'il n'y a qu'a calculer :
Surface sous l'hyperbole du haut entre x2 et x4 MOINS surface sous l'hyperbole du bas entre x1 et x3.

[MAIS_DIT]

J'ai donc décidé d'utiliser chacun de vos conseils ; plutôt que de faire un cas particulier, je me suis lancé dans un cas général avec des valeurs a b c d et x1 x2 x3...

Voici ce que j'ai mis pour l'instant,
est ce cohérent ?

[MAIS_DIT]

Là par contre je commence à avoir un doute il y'a un truc qui me semble bizarre.

[MAIS_DIT]

Un truc (plus ou moins) marrant (mais très bête) auquel j'avais pas fait gaffe au début, c'est que si on prend un point M sur une hyperbole y=c/x et son projeté orthogonal H sur la droite Ox, alors clairement, la surface du triangle OHM ne dépend pas de M vu que basexhauteur=x.a/x=a.

Ça montre que la surface sous la droite du haut entre x1 et x2 est la même que la surface sous la droite du bas entre x3 et x4 donc que dans le calcul de la surface du bidule, elles s'annulent et qu'il n'y a qu'a calculer :
Surface sous l'hyperbole du haut entre x2 et x4 MOINS surface sous l'hyperbole du bas entre x1 et x3.

Finalement j'ai pris cette méthode et ca marche beaucoup mieux, c'est plus simple et rapide et j'arrive au bon résultat. Merci beaucoup !
Par contre pourrais tu me réexpliquer l'histoire avec le triangle S'il te plait ? j'ai un peu du mal à comprendre et j'aimerais expliquer clairement sur ma copie la méthode.

Merci beaucoup !!

[Ben314]

Avant de regarder le truc du triangle et concernant ta rédaction, ton truc est pas 100% général du fait que, à priori, pour que l'aire soit égale au A que tu as écrit en gros, il semble qu'il faille que x2<x3 pour que la deuxième intégrale représente une "vrai" surface. (en fait, le résultat est bon dans tout les cas, mais je pense qu'avec cette approche, il faut traiter deux cas.

Aprés, concernant "le triangle", j'ai fait au départ le calcul comme toi et le truc que j'ai trouvé bizarre, c'est que le morceau du début valle exactement la même chose que le de la fin (ils s'éliminent) et qu'il y avait forcément une explication simple à ce truc.

Sauf qu'en fait, la première intégrale (par exemple) correspond à l'aire du trapèze délimité par et qui est l'aire du triangle OAA' (A=intersection de y=bx et y=d/x ; A' projeté orthogonal de A sur Ox) moins celle du triangle OBB' (B=intersection de y=bx et y=c/x ; B' projeté orthogonal de B sur Ox)
Or, par exemple dans le cas de ce dernier triangle, si tu note xo et yo les coordonnées de B (sans même les calculer), l'aire du triangle =base.hauteur/2=xo.yo/2=c/2 vu que yo=c/xo et on constate que cette aire ne dépend pas de b mais uniquement de c (donc uniquement de l'hyperbole, mais pas de la droite)
Et ça explique que les aires des eux trapèzes soient les mêmes.