1ere ES : dérivées...

[fanou]

bonjour à tous,

ex 3 :une fonction rationnelle
f est la fonction définie sur l'intervalle [-2;2] par :
f(x)=(2x+2)/(x²+2)

1)a) vérifier que, pour tout réel x de [-2;2] :
f'(x)=(-2x²-4x+4)/((x²+2)²)
b) étudier le signe de f'(x).
c)dresser le tableau de variation de f et donner une valeur approchée du maximum.

2)tracer la courbe représentative C de f dans un repère orthonormé(unité graphique: 4cm)

3)a)déterminer une éqution de la tangente T à C au point A d'abscisse 0.
b)tracer T dans le même repère que C.
4)a)vérifier que, pour tout réel x de [-2;2] :
f(x)-(x-1)=(x²(x+1))/(x²+2)
b) en déduire la position de C par rapport à T sur l'intervalle [-2;2]
c)vérifier les résultats obtenus à la question 4)b) en utilisant l calculatrice graphique

merci d'avance

[Jess19]

dis nous ce que tu as commencé à faire ou à chercher !

[fanou]

1)
a) j'ai appliquer la dérivée d'un quotient :
u(x)=2x+2 u'(x)=2
v(x)=x²+2 v'(x)=2x
comme (u/v)'=(u'v-uv')/(v²)
alors f'(x)= ... =(-2x²-4x+4)/(x²+2)²

b)-2x²-4x+4=0
a=-2 ; b=-4 ; c=4
delta=b²-4ac=16+32=48 >0 donc S={x1;x2}
avec x1=(-b-Vdelta)/2a
et x2=(-b+Vdelta)/2a
... par contre, je ne trouve pas des nombres justes... ça fait bizarre !!! (pouvez-vous me donner les résultats justes svp ???)
donc f est du signe de -a entre les racines.

3)
a)y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=f'(0)(x-0)+f(0)
y=(1/2)(x-0)+1=(1/2)x+1

4)
a) je n'y arrive pas !!!

[fanou]

ya personne pour me corriger ??? :S

[SimonB]

b)-2x²-4x+4=0
a=-2 ; b=-4 ; c=4
delta=b²-4ac=16+32=48 >0 donc S={x1;x2}
avec x1=(-b-Vdelta)/2a
et x2=(-b+Vdelta)/2a
... par contre, je ne trouve pas des nombres justes... ça fait bizarre !!! (pouvez-vous me donner les résultats justes svp ???)
donc f est du signe de -a entre les racines.

Bien, tu connais ton cours.
Deux remarques :
-Qu'appelles-tu "nombres justes" ? Les nombres sont "justes" si tu remplaces b, delta et a par leur expression.
-Tu aurais pu simplifier un peu au début : on a -2x²-4x+4=0 si et seulement si (en factorisant par 2) 2(-x²-2x+2)=0, donc si et seulement si -x²-2x+2=0. Ca simplifie le calcul du discriminant et des racines.

3)
a)y=f'(a)(x-a)+f(a)
y=f'(0)(x-0)+f(0)
y=(1/2)(x-0)+1=(1/2)x+1

La formule est juste, mais le calcul de f'(0) me semble faux : je trouve 1...

4)
a) je n'y arrive pas !!!

puis il ne reste plus qu'à développer et simplifier le numérateur...

[fanou]

merci beaucoup de votre réponse... :)

[fanou]

1) les nombres sont "justes" si tu remplaces b, delta et a par leur expression.
-Tu aurais pu simplifier un peu au début : on a -2x²-4x+4=0 si et seulement si (en factorisant par 2) 2(-x²-2x+2)=0, donc si et seulement si -x²-2x+2=0. Ca simplifie le calcul du discriminant et des racines.

2) La formule est juste, mais le calcul de f'(0) me semble faux : je trouve 1...

3)

puis il ne reste plus qu'à développer et simplifier le numérateur...

1) le problème, c'est que je trouve quelque chose de pas simplifiable(enfin je crois : x1=(4-2V12)/(-4) et x2=(4+V48)/(-4)
pouvez-vous me dire si c'estjuste svp ???

2) c'est bon, j'ai résolu le souci, j'avais fais une faute d'étourderie !!!

3) le problème, c'est que je pense que c'est plutôt avec f(x) (au lieu de f '(x), non ?

merci de me répondre...
à bientôt...

[SimonB]

1) le problème, c'est que je trouve quelque chose de pas simplifiable(enfin je crois : x1=(4-2V12)/(-4) et x2=(4+V48)/(-4)
pouvez-vous me dire si c'estjuste svp ???

Je ne sais pas, ça ressemble à des expressions justes. Je n'ai pas trop le temps de vérifier numériquement, mais x1 comme x2 sont simplifiables dans ton expression (par 2).

3) le problème, c'est que je pense que c'est plutôt avec f(x) (au lieu de f '(x), non ?

Dans ton énoncé, tu parles de f(x)...

[fanou]

bonsoir,

je me suis trompé : dans l'énoncé je parle bien de f(x), mais ce que je voulais dire, c'est que vous avez pris f ' (x) dans la réponse que vous m'avez proposée...
alors, pouvez-vous me dire si ce n'est pas plutôt :
f(x)-(x+1) = ((2x+2)/(x²+2)-(x+1) = ...
par contre, je n'arrive pas à obtenir (-x²(x+1)/(x²+2)...

merci de me corriger...