Visibilité dans Z

[Anonyme]

Bonjour
Qui pourrait donner une piste afin de résoudre ce problème (TS):
n entier naturel et A= n^5-n
Montrer que A est divisible par 5
Merci d'avance
Didier

[Anonyme]

Didier Damet a écrit dans le message ...
>Bonjour
>Qui pourrait donner une piste afin de résoudre ce problème (TS):
>n entier naturel et A= n^5-n
>Montrer que A est divisible par 5
>Merci d'avance
>Didier
>n5-^n=n*(n-1)*(n+1)*(n^2+1)
tu testes n avec 5k-2 puis 5k+2
puis 5k-1 puis 5k+1 puis 5k ==========> ces cas sont faciles
a+

[Anonyme]

Le 03/10/2003 18:19, Didier Damet a écrit :

> Bonjour
> Qui pourrait donner une piste afin de résoudre ce problème (TS):
> n entier naturel et A= n^5-n
> Montrer que A est divisible par 5

La façon élégante :

Essayer d'exprimer A sous la forme d'un produit de polynomes en n de
degrés inférieurs. Il y a une factorisation évidente, ensuite on peut
utiliser deux fois la formule (a²-b²) = (a+b)(a-b). Pour conclure, l'un
des polynomes restants peut s'écrire sous la forme (a²-b²+5), soit donc
[(a+b)(a-b)+5].


Une façon plus bestiale :

Développer A pour n appartenant à { 5k-2, 5k-1, 5k, 5k+1, 5k+2 }

[Anonyme]

On Fri, 03 Oct 2003 18:19:04 +0200, Didier Damet
wrote:

>Bonjour
>Qui pourrait donner une piste afin de résoudre ce problème (TS):
>n entier naturel et A= n^5-n
>Montrer que A est divisible par 5
>Merci d'avance
>Didier
en début d'année , commme il l'a déjà éte signalé, la méthode par
disjonction des cas est efficace ;
une récurrence marche assez bien aussi ( si on a vu la formule du
binôme)
mais en fin d'année
il "faudra " le faire via le petit th de Fermat :
si p 1er
qq soit a dans Z , a^p-a est divisible par p

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Pichereau Alain

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[Anonyme]

"Didier Damet"
a écrit
dans le message news:
3f7da1a3$1@ac-versailles.fr...
> Bonjour
> Qui pourrait donner une piste afin de résoudre
ce problème (TS):
> n entier naturel et A= n^5-n
> Montrer que A est divisible par 5
> Merci d'avance
> Didier
>

p=5 est pas trop grand donc sans peine :
A=(n-2)*(n-1)*n*(n+1)*(n+2)+5*(n^3-n)
et le premier terme est produit de 5 entiers
consécutifs
donc multiple de 5.