Une histoire de série

[Anonyme]

Bonjour,

je suis en informatique et j'ai besoin de votre aide pour m'aider à
comprendre quelques égalités sur lesquelles je bloque.

********* Premier bloquage **********
sachant que Cn = somme [Ck Cn-1-k] (0 =0)

********* Second bloquage **********
on a (1-4x)^1/2=somme [an x^n] (n>=0)
et pour trouver an, il font rentrer le produit ( Pi majuscule), je ne ovis
pas comment il procède pour toruver an, qqun connait-il un site internet où
il explique cette manière de procéder ?


merci pour votre aide

[Anonyme]

In article ,
"N Querel" wrote:


> ********* Premier bloquage **********
> sachant que Cn = somme [Ck Cn-1-k] (0 pourkoi à ton l'égalité :
> (somme [Cn x^n])² = somme [ somme [ Ck Cn-k ] (0 =0)

Bonjour,
plus précisément, si
S = sum(C_n x^n), on a
S^2 = sum(sum_(0 ********* Second bloquage **********
> on a (1-4x)^1/2=somme [an x^n] (n>=0)
> et pour trouver an, il font rentrer le produit ( Pi majuscule), je ne ovis
> pas comment il procède pour toruver an, qqun connait-il un site internet où
> il explique cette manière de procéder ?[/color]

Que signifie "faire rentrer le produit" ?
Faire un développement de Taylor suffit.
Ainsi, on a (à retrouver)
(1-x)^(1/2) = 1 - x/2 - ... - 1/n! (2n-2)!/(2^(n-1) (n-1)! 2^n) x^n - ...

d'où
(1-4x)^(1/2) = 1 - 2x - ... - 2/n! (2n-2)!/(n-1)! x^n - ...
= 1 - 2x - 2C(2n - 2, n-1)/n x^n

Ainsi,
(1 - sqrt(1-4x))/(2x) = 1 + ... + C(2n-2, n-1)/n x^(n-1)
= 1 + ... + C(2n, n)/(n+1) x^n

Tu as le résultat recherché.

Camille

[Anonyme]

désolé mais j'ai du mal à cerner.
Je ne comprend pas le passage de S à S^².


"Camille" a écrit dans le message de news:
camille.wormser-A03B58.12262703092003@news.fu-berlin.de...
> In article ,
> "N Querel" wrote:
>
>[color=green]
> > ********* Premier bloquage **********
> > sachant que Cn = somme [Ck Cn-1-k] (0 > pourkoi à ton l'égalité :
> > (somme [Cn x^n])² = somme [ somme [ Ck Cn-k ] (0 =0)
>
> Bonjour,
> plus précisément, si
> S = sum(C_n x^n), on a
> S^2 = sum(sum_(0 (il manquait le x^n dans ta formule)
>
> Attention, ceci ne dépend pas de la définition de C_n. Il s'agit d'un
> développement du produit selon chaque puissance de x.
> Fais le dévelopement à la main, par puissances croissantes de x.
>
> Tu devrais en déduire que
> x S^2 = S - C_0
> Et si C_0 = 1, x S^2 - S + 1 = 0
>
> delta = 1 - 4x
> S = (1 +/- sqrt(1-4x))/(2x)
> On choisit +, puisque l'on peut en calculer le développement en 0,
> et si ce développement existe, ses coefficients vérifient la bonne
> relation de récurrence.
>
> > ********* Second bloquage **********
> > on a (1-4x)^1/2=somme [an x^n] (n>=0)
> > et pour trouver an, il font rentrer le produit ( Pi majuscule), je ne[/color]
ovis[color=green]
> > pas comment il procède pour toruver an, qqun connait-il un site internet[/color]
où[color=green]
> > il explique cette manière de procéder ?
>
> Que signifie "faire rentrer le produit" ?
> Faire un développement de Taylor suffit.
> Ainsi, on a (à retrouver)
> (1-x)^(1/2) = 1 - x/2 - ... - 1/n! (2n-2)!/(2^(n-1) (n-1)! 2^n) x^n - ...
>
> d'où
> (1-4x)^(1/2) = 1 - 2x - ... - 2/n! (2n-2)!/(n-1)! x^n - ...
> = 1 - 2x - 2C(2n - 2, n-1)/n x^n
>
> Ainsi,
> (1 - sqrt(1-4x))/(2x) = 1 + ... + C(2n-2, n-1)/n x^(n-1)
> = 1 + ... + C(2n, n)/(n+1) x^n
>
> Tu as le résultat recherché.
>
> Camille[/color]

[Anonyme]

On Wed, 3 Sep 2003 14:00:24 +0200, "N Querel"
wrote:

>désolé mais j'ai du mal à cerner.
>Je ne comprend pas le passage de S à S^².
>
on a le théorème suivant :
si u est une série (à termes réels ou complexes) absolument cv de
somme U=u_0+u_1+u_2+.........
si v est une série asolument cv de somme V=v_0+v_1+v_2+.......
alors la série w de terme général
w_n=u_0*v_n+u_1*v_(n-1)+....+u_n*v_0
est absolument convergente de somme W=U*V

en particulier si u_k=v_k pour tout k
on a W=U^2

rem : en fait il suffit qu'une des séries soit ab cv et l'autre cv
(th de Mertens)
*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam : ôter antispam et les 3 lettres devant wana

http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/

*****************

[Anonyme]

In article ,
marc.pichereauantispam@qcqwanadoo.fr (Marc Pichereau) wrote:

> On Wed, 3 Sep 2003 14:00:24 +0200, "N Querel"
> wrote:
>[color=green]
> >désolé mais j'ai du mal à cerner.
> >Je ne comprend pas le passage de S à S^².
> >
> on a le théorème suivant :
> si u est une série (à termes réels ou complexes) absolument cv de
> somme U=u_0+u_1+u_2+.........
> si v est une série asolument cv de somme V=v_0+v_1+v_2+.......
> alors la série w de terme général
> w_n=u_0*v_n+u_1*v_(n-1)+....+u_n*v_0
> est absolument convergente de somme W=U*V[/color]

On peut aussi présenter les choses de façon purement formelle en
traitant le passage de S à S^2 sans parler de convergence, puisqu'il
s'agit essentiellement de vérifier des relations de récurrence entre les
coefficients.
Il s'agit de voir que, "formellement",
(a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...) (b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + ...)
= a_0 b_0 + (a_1 b_0 + a_0 b_1) x + (a_2 b_0 + a_1 b_1 + a_0 b_2) x^2 +
....

Camille

[Anonyme]

Merci chaleureusement Camille pour cette dernière explication formelle.

En fait, je suis des études d'informatiques et parfois on doit démontrer les
résultats en utilisant des mathématiques et j'ai un peu de mal.

Merci encore pour votre aide.


"Camille" a écrit dans le message de news:
camille.wormser-F2079C.13214204092003@news.fu-berlin.de...
> In article ,
> marc.pichereauantispam@qcqwanadoo.fr (Marc Pichereau) wrote:
>[color=green]
> > On Wed, 3 Sep 2003 14:00:24 +0200, "N Querel"
> > wrote:
> >[color=darkred]
> > >désolé mais j'ai du mal à cerner.
> > >Je ne comprend pas le passage de S à S^².
> > >
> > on a le théorème suivant :
> > si u est une série (à termes réels ou complexes) absolument cv de
> > somme U=u_0+u_1+u_2+.........
> > si v est une série asolument cv de somme V=v_0+v_1+v_2+.......
> > alors la série w de terme général
> > w_n=u_0*v_n+u_1*v_(n-1)+....+u_n*v_0
> > est absolument convergente de somme W=U*V[/color]
>
> On peut aussi présenter les choses de façon purement formelle en
> traitant le passage de S à S^2 sans parler de convergence, puisqu'il
> s'agit essentiellement de vérifier des relations de récurrence entre les
> coefficients.
> Il s'agit de voir que, "formellement",
> (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...) (b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + ...)
> = a_0 b_0 + (a_1 b_0 + a_0 b_1) x + (a_2 b_0 + a_1 b_1 + a_0 b_2) x^2 +
> ...
>
> Camille[/color]

[Anonyme]

Concernant le second bloquage, tu arrive au même résultat que mon bouquin
mais ce dernier n'utilise pas Taylor mais le produit (cad le symbole Pi
majuscule) et c'est cela qui me coince.

"Camille" a écrit dans le message de news:
camille.wormser-A03B58.12262703092003@news.fu-berlin.de...
> In article ,
> "N Querel" wrote:
>
>[color=green]
> > ********* Premier bloquage **********
> > sachant que Cn = somme [Ck Cn-1-k] (0 > pourkoi à ton l'égalité :
> > (somme [Cn x^n])² = somme [ somme [ Ck Cn-k ] (0 =0)
>
> Bonjour,
> plus précisément, si
> S = sum(C_n x^n), on a
> S^2 = sum(sum_(0 (il manquait le x^n dans ta formule)
>
> Attention, ceci ne dépend pas de la définition de C_n. Il s'agit d'un
> développement du produit selon chaque puissance de x.
> Fais le dévelopement à la main, par puissances croissantes de x.
>
> Tu devrais en déduire que
> x S^2 = S - C_0
> Et si C_0 = 1, x S^2 - S + 1 = 0
>
> delta = 1 - 4x
> S = (1 +/- sqrt(1-4x))/(2x)
> On choisit +, puisque l'on peut en calculer le développement en 0,
> et si ce développement existe, ses coefficients vérifient la bonne
> relation de récurrence.
>
> > ********* Second bloquage **********
> > on a (1-4x)^1/2=somme [an x^n] (n>=0)
> > et pour trouver an, il font rentrer le produit ( Pi majuscule), je ne[/color]
ovis[color=green]
> > pas comment il procède pour toruver an, qqun connait-il un site internet[/color]
où[color=green]
> > il explique cette manière de procéder ?
>
> Que signifie "faire rentrer le produit" ?
> Faire un développement de Taylor suffit.
> Ainsi, on a (à retrouver)
> (1-x)^(1/2) = 1 - x/2 - ... - 1/n! (2n-2)!/(2^(n-1) (n-1)! 2^n) x^n - ...
>
> d'où
> (1-4x)^(1/2) = 1 - 2x - ... - 2/n! (2n-2)!/(n-1)! x^n - ...
> = 1 - 2x - 2C(2n - 2, n-1)/n x^n
>
> Ainsi,
> (1 - sqrt(1-4x))/(2x) = 1 + ... + C(2n-2, n-1)/n x^(n-1)
> = 1 + ... + C(2n, n)/(n+1) x^n
>
> Tu as le résultat recherché.
>
> Camille[/color]