Théorème de Riesz

[Anonyme]

Bonjour.
Je bloque sur un petit point de la démonstration du théorème de Riesz
proposée dans cet ouvrage :
http://www.editions-breal.fr/includes/fiche_article_main.asp?article_id=5

Je rappelle le théorème :
Etant donné un lK-evn (E, ||.||), avec lK = lR ou C ;
la sphère unité {x dans E, ||x|| = 1} est compacte
E est de dimension finie.

Voici la démonstration proposée dans le livre :

Pour le sens :
on suppose E de dimension infinie.
On va prouver l'existence d'une suite (u_n) à valeurs dans la sphère unité S
telle que :
pour tout i =/= j, || u_i - u_j || >= 1.
Une telle suite n'est pas convergente et ne peut pas admettre de sous-suite
convergente.
On suppose, pour n dans lN* fixé, les n premiers termes (u_1, u_2, ..., u_n)
de la suite construits.
Soit F = Vect_lK({u_1, u_2, ..., u_n}).
F est de dimension finie = 0 (F est fermé, car c'est un sev de dimension finie, donc d(x,F)=0
x est dans adh(F)=F).
Notons D = d(x,F) > 0.
Il existe alors y dans F tel que d(x,F) = d(x,y) = D.
On pose u_{n+1} = (x-y) / ||x-y||.
Ce vecteur est bien sûr dans S (de norme égale à 1).
Pour k dans {1,2, ..., n}, on a :
|| u_{n+1} - u_k || = || (x-y) / ||x-y|| - u_k ||
= || 1/D * (x-z) ||
avec z = y + D*u_k.
z est combinaison linéaire de deux élèments de F, donc z est dans le sev F,
et donc d(x,z) > D.
Ainsi, || u_{n+1} - u_k || >= 1.
On a donc construit notre suite par récurrence.

Ce qui me gène c'est ceci :
> Notons D = d(x,F) > 0.
> Il existe alors y dans F tel que d(x,F) = d(x,y) = D.

Je ne comprends pas ce qui prouve l'existence d'un tel y.
L'existence d'un point à une partie n'est pas toujours atteinte (la
définition est un "inf"), n'est-ce pas ?
Pourquoi serait-elle atteinte ici ?
Merci de votre aide.
Romain.

[Anonyme]

On Sat, 29 Jan 2005 18:01:42 +0100, "Romain M"
wrote:

>Bonjour.
>Je bloque sur un petit point de la démonstration du théorème de Riesz
>proposée dans cet ouvrage :

>Ce qui me gène c'est ceci :[color=green]
>> Notons D = d(x,F) > 0.
>> Il existe alors y dans F tel que d(x,F) = d(x,y) = D.
>
>Je ne comprends pas ce qui prouve l'existence d'un tel y.
>L'existence d'un point à une partie n'est pas toujours atteinte (la
>définition est un "inf"), n'est-ce pas ?
>Pourquoi serait-elle atteinte ici ?
>Merci de votre aide.
>Romain.[/color]
parceque F est un sev (sur R ou C) de dim finie
( et ainsi tte partie bornée et fermée de F est compacte)

*****************
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
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[Anonyme]

> L'existence d'un point à une partie n'est pas toujours atteinte

Ma phrase n'est pas bien formulée mais bon, je pense que c'est
compréhensible quand même.

[Anonyme]

> parceque F est un sev (sur R ou C) de dim finie
> ( et ainsi tte partie bornée et fermée de F est compacte)

L'application continue (car lipschitzienne)
S -> R+
y -> d(x,y)
est donc bornée et atteint ses bornes.
Donc il existe y0 dans F tel que d(x,y0) =< d(x,y) pour tout y dans F.
Ainsi, inf({d(x,y), y dans F}) = d(x,y0).

C'est bien celà ?
Merci.

[Anonyme]

> L'application continue (car lipschitzienne)
> S -> R+
> y -> d(x,y)
> est donc bornée et atteint ses bornes.
> Donc il existe y0 dans F tel que d(x,y0) = Ainsi, inf({d(x,y), y dans F}) = d(x,y0).

Non S n'est pas compacte !!
Bon alors, je ne vois pas.

[Anonyme]

On Sat, 29 Jan 2005 20:49:14 +0100, "Romain M"
wrote:
[color=green]
>> L'application continue (car lipschitzienne)
>> S -> R+
>> y -> d(x,y)
>> est donc bornée et atteint ses bornes.
>> Donc il existe y0 dans F tel que d(x,y0) => Ainsi, inf({d(x,y), y dans F}) = d(x,y0).
>
>Non S n'est pas compacte !!
>Bon alors, je ne vois pas.
>[/color]
D=d(x,F)
il existe une suite x_n dans F telle que d(x,x_n)=||x-x_n|| cv vers D
pour n assez grand d(x,x_n)d(x,y)=||x-y|| est cont sur H donc atteint son minimum sur H
donc il existe z dans H tel que d(x,z)=D

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( olympiades mathématiques 1ère S )
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[Anonyme]

Impeccable, merci.