Théorème de Riesz

[Anonyme]

Tous mes bouquins montrent que boule unité B compacte ==> dim. finie mais
mon prof veut que je fasse la contraposée...
On est alors en dimension infinie. On construit par récurrence une suite de
B telle que 2 élts distincts soient distants d'au moins 1/2. Pour construire
x_{n+1}, on me demande de considérer F_n = Vect(x_i) i= alpha. Mais je
n'arrive pas à construire x_{n+1}.
Si quelqu'un avait une petite indication à donner, je lui en serait
reconnaissant!
Merci

[Anonyme]

> Tous mes bouquins montrent que boule unité B compacte ==> dim. finie mais
> mon prof veut que je fasse la contraposée...
> On est alors en dimension infinie. On construit par récurrence une suite
de
> B telle que 2 élts distincts soient distants d'au moins 1/2. Pour
construire
> x_{n+1}, on me demande de considérer F_n = Vect(x_i) i peut trouver a dans B\F_n et alpha tels que d(a,F_n)>= alpha. Mais je
> n'arrive pas à construire x_{n+1}.
> Si quelqu'un avait une petite indication à donner, je lui en serait
> reconnaissant!
> Merci
>

d(a,F_n)=alpha>0.
Il existe f dans F_n tels que:
3/2*alpha>=N(a-f)>=alpha, alors le vecteur (a-f)/N(a-f) qui est de norme 1
appartient à la boule unité et est à une distance d'au moins 1/2 de tous les
(x_k) (k = 1 à n) car sinon on aurait l'existence d'un u tel que N(u)<=1/2
et d'un k dans {1,..,n} avec:
u_k + u = (a-f)/N(a-f),
a = f+N(a-f)*u_k+N(a-f)*u
mais alors d(a,F_n) <= N(a-f)*N(u) <= 3/4*alpha ce qui est absurde.

--
JS

[Anonyme]

> d(a,F_n)=alpha>0.
> Il existe f dans F_n tels que:
> 3/2*alpha>=N(a-f)>=alpha, alors le vecteur (a-f)/N(a-f) qui est de norme 1
> appartient à la boule unité et est à une distance d'au moins 1/2 de tous
les
> (x_k) (k = 1 à n) car sinon on aurait l'existence d'un u tel que N(u) et d'un k dans {1,..,n} avec:
> u_k + u = (a-f)/N(a-f),
> a = f+N(a-f)*u_k+N(a-f)*u
> mais alors d(a,F_n) <= N(a-f)*N(u) <= 3/4*alpha ce qui est absurde.

Merci!