Sous espace caracteristique

[Anonyme]

Bonjour, j'ai 2 petites questions

Soit N le sous espace caractéristique d'un endomorphisme u associé à la
valeur propre lambda

N =Ker( u - lambda.Id )^k

1) Proposition: N est stable par u
Démonstration:
Soit x appartenant à N.
u ( ( u - lambda.Id)^k ) (x) = 0

Pour conclure je dois avoir: ( u - lambda.Id )^k ( u(x) ) = u ( ( u -
lambda.Id)^k ) (x)

Mais je sais pas si c'est vrai et j'arrive encore moins à le montrer...

2)Si x appartient à N on a ( u - lambda.Id )^k (x) = 0 .
Donc u - lambda.Id est nilpotent. Son polynome caractéristique est donc
(-X)^dimN
Comment fait on pour en déduire que le polynome caractéristique de u est
(lambda-X)^dimN ?

[Anonyme]

Bonsoir

> Pour conclure je dois avoir: ( u - lambda.Id )^k ( u(x) ) = u ( ( u -
> lambda.Id)^k ) (x)
>
> Mais je sais pas si c'est vrai et j'arrive encore moins à le montrer...
>

L'expression dont tu parles est un polynôme en u donc commute avec u ...

> 2)Si x appartient à N on a ( u - lambda.Id )^k (x) = 0 .
> Donc u - lambda.Id est nilpotent. Son polynome caractéristique est donc
> (-X)^dimN
> Comment fait on pour en déduire que le polynome caractéristique de u est
> (lambda-X)^dimN ?
>

Dans une base convenable la matrice de u - lambda*Id est triangulaire
supérieure avec que des 0 sur la diagonales, donc celle de u ds la même est
triangulaire sup. avec des lambdas sur la diago ...

[Anonyme]

> > 2)Si x appartient à N on a ( u - lambda.Id )^k (x) = 0 .[color=green]
> > Donc u - lambda.Id est nilpotent. Son polynome caractéristique est[/color]
donc[color=green]
> > (-X)^dimN
> > Comment fait on pour en déduire que le polynome caractéristique de u est
> > (lambda-X)^dimN ?
> >
>
> Dans une base convenable la matrice de u - lambda*Id est triangulaire
> supérieure avec que des 0 sur la diagonales, donc celle de u ds la même[/color]
est
> triangulaire sup. avec des lambdas sur la diago ...

Merci, j'ai compris.

Tout d'abord j'emploierai le terme matrice strictement triangulaire
supérieure pour matrice triangulaire supérieure avec que des 0 sur la
diagonale.

Le résultat: un endomorphisme nilpotent s'écrit avec des uns sur la
diagonale supérieure (et des 0 partout ailleurs) dans une certaine base
n'est pas au programme en classe prépa je crois. Je suis pas sur que si je
donne cette explication elle sera acceptée. Vous n'auriez pas une autre
façon de montrer le résultat? Merci beaucoup

Rq: Comme vous l'avez dit, mon endomorphisme nilpotent a juste besoin d'etre
strictement trangulaire supérieur. Si je sait démontrer qu'un endomorphisme
nilpotent s'écrit dans une certaine base comme une matrice strictement
triangulaire supérieure c'est bon. Meme si ca semble intuitif (le produit
d'une matrice strictement triangulaire supérieure par elle même donne
necessairement la matrice nulle au bout d'un certain temps) comme montre
t-on proprement qu'il existe forcément une base dans laquelle je peux écrire
mon nilpotent comme ca?