Rapidité de convergence...

[Anonyme]

Salut à tous,
Je bute sur une démonstration, sans doute bien bête, à moins que...
Soit une suite u:n de limite connue l.
On considère les suites r:n= (u:(n+1)-l)/(u:n-l) et r':n=
(u:(n+1)-u:n)/(u:n-u:(n-1)).
Ai-je le droit de dire que si les suites r:n et r':n convergent, elles ont
la même limite?
Si oui pourquoi?
Je sèche lamentablement, mais vous êtes là, non?
Christian Vassard

[Anonyme]

> Ai-je le droit de dire que si les suites r:n et r':n convergent, elles ont
> la même limite?

oui, presque tt le temps en tt cas :
si r tend vers un réel s alors :

r':n=( r(n) - 1) / ( 1 - 1/r(n-1) )
tend (si s est différent de 0 et de 1) vers :
s' = ( s - 1) / (1- 1/s) = s

Dans les cas s=0 et s=1, je te laisse chercher

[Anonyme]

Lo a écrit
> oui, presque tt le temps en tt cas :
> si r tend vers un réel s alors :
> r':n=( r(n) - 1) / ( 1 - 1/r(n-1) )
> tend (si s est différent de 0 et de 1) vers :
> s' = ( s - 1) / (1- 1/s) = s
> Dans les cas s=0 et s=1, je te laisse chercher

Exemples :

Le cas s = 1 se produit avec : u_n = 1 / n car
u_(n+1) - u_n = n / (n+1)

Le cas s = 1 se produit avec u_n = 1 / n^n car
u_(n+1) - u_n = n^n / (n+1)^(n+1)
= [n / (n+1)]^n * 1/(n+1)
~ e / (n+1)

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Pardon je voulais dire
le cas s = 0 se produit avec u_n = 1 / n^n ...

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Oui, exact, merci à tous les deux: donc si r:n tend vers s, alors r':n
aussi.
A-t-on la réciproque? Y-a-t-il une relation simple qui exprime r:n en
fonction de r':n et qui permettrait de conclure de la même façon, aux cas
particuliers éventuels près?
Ceci autoriserait d'aborder les problèmes de rapidité de convergence avec
l'une ou l'autre des suites, selon que l'on connaisse ou non la valeur de la
limite. C'est déjà ce qui se pratique dans de nombreux exemples, mais je
n'ai jamais vu très clairement exposé l'arrière plan théorique sur ces
notions...
Connaissez-vous un bouquin qui aborde précisément, et correctement, les
problèmes de rapidité de convergence?
Merci encore à tous les deux, et aux autres qui me lisent, ou qui vont
répondre,
A la prochaine
Christian Vassard

"Lo" a écrit dans le message de news:
bmcjba$2t6$1@news-reader4.wanadoo.fr...[color=green]
> > Ai-je le droit de dire que si les suites r:n et r':n convergent, elles[/color]
ont[color=green]
> > la même limite?
>
> oui, presque tt le temps en tt cas :
> si r tend vers un réel s alors :
>
> r':n=( r(n) - 1) / ( 1 - 1/r(n-1) )
> tend (si s est différent de 0 et de 1) vers :
> s' = ( s - 1) / (1- 1/s) = s
>
> Dans les cas s=0 et s=1, je te laisse chercher
>
>
>
>[/color]

[Anonyme]

C'est un cas de convergence dit rapide si je ne m'abuse... L'autre est un
cas de convergence lente, même désespérément lente!
Christian Vassard


"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de news:
bmdvo6$ngr$1@news.mgn.net...
> Pardon je voulais dire
> le cas s = 0 se produit avec u_n = 1 / n^n ...
>
> --
> Pierre
> pierre-capdevila@wanadoo.fr
>
>
>

[Anonyme]

Am 12/10/03 22:24, sagte Christian Vassard (cvassard@netcourrier.com) :

> Salut à tous,
> Je bute sur une démonstration, sans doute bien bête, à moins que...
> Soit une suite u:n de limite connue l.
> On considère les suites r:n= (u:(n+1)-l)/(u:n-l) et r':n=
> (u:(n+1)-u:n)/(u:n-u:(n-1)).
> Ai-je le droit de dire que si les suites r:n et r':n convergent, elles ont
> la même limite?
> Si oui pourquoi?
> Je sèche lamentablement, mais vous êtes là, non?
> Christian Vassard
>
>
il faut absolument éviter le crosspostage sans suivi
pour peu que les autres intervenants ne remarquent rien, on a deux threads
identiques sur deux ngs...


albert

--

Bitte abnehmen die drei Sterne (***), um Albert Einstein (Junior) zu
antworten

[Anonyme]

Christian Vassard a écrit
> Oui, exact, merci à tous les deux: donc si r:n tend vers s,
> alors r':n aussi.
> A-t-on la réciproque? Y-a-t-il une relation simple qui
> exprime r:n en fonction de r':n et qui permettrait de conclure
> de la même façon, aux cas particuliers éventuels près?

Si l'une des suites r_n ou r'_n converge vers une limite
différente de 0 et de 1 alors l'autre suite converge vers la
même limite, donc est équivalente. On peut donc utiliser
l'une ou l'autre des deux suites pour étudier la rapidité de
convergence de (u_n). Pourquoi veux-tu exprimer r_n en
fonction de r'_n ?

> Connaissez-vous un bouquin qui aborde précisément, et
> correctement, les problèmes de rapidité de convergence?

Désolé je ne connais rien sur la question.

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

Autant dans l'autre sens, c'est évident (mais il faut regarder à la main ce
qui se passe pour une limite nulle ou égale à 1), autant il ne me paraît pas
si évident que cela de démontrer que si r'n converge, alors rn converge. Ou
alors, il y a quelque chose que je ne vois pas du tout....
Intuitivement, je me doute que cela va être le cas, but why?
Car si on passe à la limite dans cette égalité,
r':n=( r(n) - 1) / ( 1 - 1/r(n-1) )
on doit supposer au préalable que r(n) converge. Non? A-t-on besoin de cette
hypothèse de convergence de r(n)? ou pas?
Merci de vous pencher sur mon petit problème,
Christian Vassard







"Pierre Capdevila" a écrit dans le message de news:
bmg7ch$fk9$1@news.mgn.net...
> Christian Vassard a écrit[color=green]
> > Oui, exact, merci à tous les deux: donc si r:n tend vers s,
> > alors r':n aussi.
> > A-t-on la réciproque? Y-a-t-il une relation simple qui
> > exprime r:n en fonction de r':n et qui permettrait de conclure
> > de la même façon, aux cas particuliers éventuels près?
>
> Si l'une des suites r_n ou r'_n converge vers une limite
> différente de 0 et de 1 alors l'autre suite converge vers la
> même limite, donc est équivalente. On peut donc utiliser
> l'une ou l'autre des deux suites pour étudier la rapidité de
> convergence de (u_n). Pourquoi veux-tu exprimer r_n en
> fonction de r'_n ?
>
> > Connaissez-vous un bouquin qui aborde précisément, et
> > correctement, les problèmes de rapidité de convergence?
>
> Désolé je ne connais rien sur la question.
>
> --
> Pierre
> pierre-capdevila@wanadoo.fr
>
>[/color]

[Anonyme]

> Christian Vassard a cité comme un cochon et poste dans deux groupes
> à la fois.

Olivier, tu lui postes ton petit lien syndical...?

[Anonyme]

Christian Vassard a écrit
> Autant dans l'autre sens, c'est évident (mais il faut regarder à la main
ce
> qui se passe pour une limite nulle ou égale à 1), autant il ne me paraît
pas
> si évident que cela de démontrer que si r'n converge, alors rn converge.

Oui tu as raison, il faut effectivement le vérifier. Je ne sais pas si c'est
toujours vrai dans l'autre sens. Cependant je suis désolé c'est trop dur
et cela me prendrait rop de temps. Je laisse donc ce plaisir à d'autres

;O)

--
Pierre
pierre-capdevila@wanadoo.fr

[Anonyme]

"Lo" a écrit dans le message de news:
bmcjba$2t6$1@news-reader4.wanadoo.fr...[color=green]
> > Ai-je le droit de dire que si les suites r:n et r':n convergent, elles[/color]
ont[color=green]
> > la même limite?
>
> oui, presque tt le temps en tt cas :
> si r tend vers un réel s alors :
>
> r':n=( r(n) - 1) / ( 1 - 1/r(n-1) )
> tend (si s est différent de 0 et de 1) vers :
> s' = ( s - 1) / (1- 1/s) = s
>
> Dans les cas s=0 et s=1, je te laisse chercher
>
>[/color]
Si r(n) tend vers 0 ( s= 0), alors r'(n) tend aussi vers 0.
Cela se montre avec les "epsilon", même si c'est un peu long en étant
rigoureux mais se comprend bien.
En effet, la valeur absolue du dénominateur tend vers +oo comme le montre
l'inégalité suivante:
! 1 - 1/r(n-1) ! >= ! (1 - !1/r(n-1)!) ! et comme !1/r(n-1)! tend vers +oo
cela donne le résultat attendu.

En revanche pour lorsque r(n) tend vers 1, on ne peut rien dire, comme le
montrent les 2 exemples suivants.
Dire que r(n) tend vers 0 revient à dire que: r(n)= 1 + e(n) avec e(n)
tendant vers 0.
Moyennant une petite transformation dans l'expression de r'(n), on obtient
en remplaçant r(n) par son écriture:
r'(n) = [ e(n) * ( 1 + e(n-1)]/ e(n-1) ###

En prenant e(n)=1/n , cad r(n)= 1 + 1/n, on trouve r'(n)=1 pour tout n et
converge donc également vers 1.
En prenant e(n)= (-1)^n /n, on obtient dans ###: r'(n)= - [(n-1) *(1 +
(-1)^n /n] /n
qui converge donc vers -1!!!

Miguel