Racines de polynomes

[Anonyme]

bonjour tt le monde

Je bloque sur un point d'exo que voici :
- soit la fonction f(x) de IR dans IR définie par f(x)=1/rac(1+x^2)
- il existe alors un polynome Pn(x) tel que la dérivée niéme de
f=Pn(x)/(1+x^2)^(n+1/2)
jusque là pas de pb, je trouve P1(x)=-x et l'équation de récurrence est :
Pn+1(x)=(1+x^2)(Pn(x))'-(2n+1)*x*Pn(x)
- ensuite je détermine le degré de Pn(x) qui est n
- puis on me demande de démontrer que toutes les racines de Pn(x) sont
réelles
c'est là où je bloque!
je pense qu'il faut utiliser le théorème de Rolle et que les zéros de Pn(x)
séparent les zéros de (Pn(x))' mais je ne sais pas comment!
une idée?
merci d'avance

[Anonyme]

"GuizLolo" a écrit

> - soit la fonction f(x) de IR dans IR définie par f(x)=1/rac(1+x^2)
> - il existe alors un polynome Pn(x) tel que la dérivée niéme de
> f=Pn(x)/(1+x^2)^(n+1/2)
> jusque là pas de pb, je trouve P1(x)=-x et l'équation de récurrence
> est : Pn+1(x)=(1+x^2)(Pn(x))'-(2n+1)*x*Pn(x)
> - ensuite je détermine le degré de Pn(x) qui est n
> - puis on me demande de démontrer que toutes les racines de Pn(x) sont
> réelles
> c'est là où je bloque!

Soit fn la dérivée n-ième de f.
On suppose par récurrence que fn a n zéros distincts, qui sont les n
racines (nécessairement simples) de Pn. Comme fn tend vers 0 en + et -
l'infini, elle a au moins n+1 extrema distincts, qui sont aussi les
zéros de fn+1 donc de Pn+1 (il y en a donc exactement n+1, puisque Pn+1
est de degré n+1).

Cordialement
Stéphane

[Anonyme]

"Stéphane Ménart" a écrit dans le message de
news: 4205e33c$0$6546$79c14f64@nan-newsreader-07.noos.net...
> "GuizLolo" a écrit
>[color=green]
>> - soit la fonction f(x) de IR dans IR définie par f(x)=1/rac(1+x^2)
>> - il existe alors un polynome Pn(x) tel que la dérivée niéme de
>> f=Pn(x)/(1+x^2)^(n+1/2)
>> jusque là pas de pb, je trouve P1(x)=-x et l'équation de récurrence est :
>> Pn+1(x)=(1+x^2)(Pn(x))'-(2n+1)*x*Pn(x)
>> - ensuite je détermine le degré de Pn(x) qui est n
>> - puis on me demande de démontrer que toutes les racines de Pn(x) sont
>> réelles
>> c'est là où je bloque!
>
> Soit fn la dérivée n-ième de f.
> On suppose par récurrence que fn a n zéros distincts, qui sont les n
> racines (nécessairement simples) de Pn. Comme fn tend vers 0 en + et -
> l'infini, elle a au moins n+1 extrema distincts, qui sont aussi les zéros
> de fn+1 donc de Pn+1 (il y en a donc exactement n+1, puisque Pn+1 est de
> degré n+1).
>
> Cordialement
> Stéphane[/color]

En effet c'est très simple comme démo et la relation de récurrence sur Pn(x)
ne sert qu'à déterminer le degré de Pn(x) finalement.
Merci pour ces précisions

Lolo