Proprieté sur les racines n-ième de l'unité

[Anonyme]

Bonjour à tous !

Je dois démontrer la propriété suivante :
Zi pour i = 0 .. n-1 les n racines n-ieme de l'unité,
pour tout k dans [0,n-1],

Produit ( Zk - Zj ) = n * Zk ^ (n-1)
sur j allant de 0 à n-1, différent de k

Et donc je lance un appel à l'aide
merci !

[Anonyme]

Le Fri, 24 Oct 2003 14:59:42 +0200,
Castor grava à la saucisse et au marteau:

> Bonjour à tous !
>
> Je dois démontrer la propriété suivante :
> Zi pour i = 0 .. n-1 les n racines n-ieme de l'unité,
> pour tout k dans [0,n-1],
>
> Produit ( Zk - Zj ) = n * Zk ^ (n-1)
> sur j allant de 0 à n-1, différent de k

Ton expression est la valeur en Zk du polynôme :

(X^n-1)/(X-Zk)= Q(X)

Tu veux Q(Zk).
Q(X)(X-Zk) = X^n-1

En dérivant:
Q'(X)(X-Zk) + Q(X) = nX^(n-1)

Puis tu prends la valeur en Zk.

--
Genji, tout content de la démo qu'il a trouvée.
L'homme n'était pas grand, la femme était maigre. Il était blême, elle
était blafarde. Tous deux vêtus de noir, ils semblaient porter
ironiquement le deuil de leur santé. -- Sacha Guitry

[Anonyme]

Merci beaucoup !

"Nicolas Le Roux" a écrit dans le message de news:
slrnbpi9e2.pnn.nicolas@zen.via.ecp.fr...
> Le Fri, 24 Oct 2003 14:59:42 +0200,
> Castor grava à la saucisse et au marteau:
>[color=green]
> > Bonjour à tous !
> >
> > Je dois démontrer la propriété suivante :
> > Zi pour i = 0 .. n-1 les n racines n-ieme de l'unité,
> > pour tout k dans [0,n-1],
> >
> > Produit ( Zk - Zj ) = n * Zk ^ (n-1)
> > sur j allant de 0 à n-1, différent de k
>
> Ton expression est la valeur en Zk du polynôme :
>
> (X^n-1)/(X-Zk)= Q(X)
>
> Tu veux Q(Zk).
> Q(X)(X-Zk) = X^n-1
>
> En dérivant:
> Q'(X)(X-Zk) + Q(X) = nX^(n-1)
>
> Puis tu prends la valeur en Zk.
>
> --
> Genji, tout content de la démo qu'il a trouvée.
> L'homme n'était pas grand, la femme était maigre. Il était blême, elle
> était blafarde. Tous deux vêtus de noir, ils semblaient porter
> ironiquement le deuil de leur santé. -- Sacha Guitry[/color]