Projection orthogonale

[Anonyme]

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un pourrait me donner la technique
de résolution pour trouver H(h0, h1) :
H(h0, h1) est le projeté orthogonal du point
A(a0, a1) sur une droite de vecteur directeur v(v0, v1)?
J'ai fait ca dans le temps, mais la méthode exacte
m'a échappé...

Merci pour votre aide,
Fanny

[Anonyme]

"fanny & michou" a écrit dans le message de news:
413b3cae$0$18610$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Est-ce que quelqu'un pourrait me donner la technique
> de résolution pour trouver H(h0, h1) :
> H(h0, h1) est le projeté orthogonal du point
> A(a0, a1) sur une droite de vecteur directeur v(v0, v1)?

*une* droite en effet, donc il manque un renseignement pour pouvoir résoudre
la question, par exemple une équation cartésienne de la droite qui nous
préoccupe, où les coordonnées d'un point par lequel passe cette droite.

> J'ai fait ca dans le temps, mais la méthode exacte
> m'a échappé...
>
> Merci pour votre aide,
> Fanny

[Anonyme]

Romain M a écrit :
> "fanny & michou" a écrit dans le message de news:
> 413b3cae$0$18610$626a14ce@news.free.fr...
>[color=green]
>>Bonjour,
>>
>>Est-ce que quelqu'un pourrait me donner la technique
>>de résolution pour trouver H(h0, h1) :
>>H(h0, h1) est le projeté orthogonal du point
>>A(a0, a1) sur une droite de vecteur directeur v(v0, v1)?
>
>
> *une* droite en effet, donc il manque un renseignement pour pouvoir résoudre
> la question, par exemple une équation cartésienne de la droite qui nous
> préoccupe, où les coordonnées d'un point par lequel passe cette droite.[/color]

En effet... La droite de vecteur directeur v passe par le point
G(g0, g1)...

[Anonyme]

avec \vec{AH}.\vec{v} = 0 et \vec{HG}// \vec{v} tu devrais btenir deux
équations à deux inconnues...

"fanny & michou" a écrit dans le message de news:
413b45e3$0$26998$626a14ce@news.free.fr...
> Romain M a écrit :[color=green]
> > "fanny & michou" a écrit dans le message de news:
> > 413b3cae$0$18610$626a14ce@news.free.fr...
> >[color=darkred]
> >>Bonjour,
> >>
> >>Est-ce que quelqu'un pourrait me donner la technique
> >>de résolution pour trouver H(h0, h1) :
> >>H(h0, h1) est le projeté orthogonal du point
> >>A(a0, a1) sur une droite de vecteur directeur v(v0, v1)?
> >
> >
> > *une* droite en effet, donc il manque un renseignement pour pouvoir[/color][/color]
résoudre[color=green]
> > la question, par exemple une équation cartésienne de la droite qui nous
> > préoccupe, où les coordonnées d'un point par lequel passe cette droite.
>
> En effet... La droite de vecteur directeur v passe par le point
> G(g0, g1)...[/color]

[Anonyme]

> avec \vec{AH}.\vec{v} = 0 et \vec{HG}// \vec{v} tu devrais btenir deux
> équations à deux inconnues...

[complément éventuel]
La deuxième équation est \vec{HG} ^ \vec{v} = \vec{0}

[Anonyme]

un produit vectoriel dans le plan ?

"Vincent Tejedor" a écrit dans le message de
news: 413b52b1$0$307$7a628cd7@news.club-internet.fr...[color=green]
> > avec \vec{AH}.\vec{v} = 0 et \vec{HG}// \vec{v} tu devrais btenir deux
> > équations à deux inconnues...
>
> [complément éventuel]
> La deuxième équation est \vec{HG} ^ \vec{v} = \vec{0}
>
>[/color]

[Anonyme]

"Romain M" a écrit dans le message de news:
413b5542$0$22032$626a14ce@news.free.fr...
> un produit vectoriel dans le plan ?

Suffit de prendre les 3ème coordonnées égales à 0 ...

[Anonyme]

ouais je vois, mais bon ca fait pas rigoureux quoi

"Osiris" a écrit dans le message de news:
413b57f8$0$23322$79c14f64@nan-newsreader-05.noos.net...
>
> "Romain M" a écrit dans le message de news:
> 413b5542$0$22032$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
> > un produit vectoriel dans le plan ?
>
> Suffit de prendre les 3ème coordonnées égales à 0 ...
>
>[/color]

[Anonyme]

> ouais je vois, mais bon ca fait pas rigoureux quoi

Je trouve ça au contraire assez propre... C'est un moyen assez systématique
en plus. Sinon, pour montrer que les deux vecteurs sont colinéaires, tu vas
faire des rapports, avec une inconnue, donc risque de nullité d'une
composante ?

[Anonyme]

Romain M wrote:

>avec \vec{AH}.\vec{v} = 0 et \vec{HG}// \vec{v} tu devrais btenir deux
>équations à deux inconnues...
>
>
D'accord pour l'équation \vec{HG}// \vec{V} :
Si on note \vect{HG} = (HGx, HGy) et \vec{V} = (Vx, Vy) on a :
Soit k un réel,

HGx = k Vx
HGy = k Vy

Jusque la ok... mais quel systeme obtient-on avec \vec{AH}.\vec{V} = 0 ?
Si \vec{AH} = (AHx, AHy)
J'aurais
racine_carrée (AHx² + AHy²) . racine_carrée (Vx² + Vy²) . cos (90°) = 0
je ne peux rien déduire de cette équation ?!!??

Comment trouver les coordonnées de H ?

[Anonyme]

> Jusque la ok... mais quel systeme obtient-on avec \vec{AH}.\vec{V} = 0 ?
> Si \vec{AH} = (AHx, AHy)
> J'aurais
> racine_carrée (AHx² + AHy²) . racine_carrée (Vx² + Vy²) . cos (90°) = 0
> je ne peux rien déduire de cette équation ?!!??
>
> Comment trouver les coordonnées de H ?

Il suffit d'utiliser l'autre définition du produit scalaire :
\vec{AH}.\vec{V} = AHx . Vx + AHy . Vy
D'où l'équation....

[Anonyme]

Soient deux vecteurs \vec(u)={u_x,u_y} et \vec{v}={v_x,v_y},
alors \vec{u}.\vec{v} = u_x*v_x + u_y*v_y
non ?

"Fanny Chevalier" a écrit dans le message de news:
chhktl$dml$1@news.u-bordeaux.fr...
> Romain M wrote:
>[color=green]
> >avec \vec{AH}.\vec{v} = 0 et \vec{HG}// \vec{v} tu devrais btenir deux
> >équations à deux inconnues...
> >
> >
> D'accord pour l'équation \vec{HG}// \vec{V} :
> Si on note \vect{HG} = (HGx, HGy) et \vec{V} = (Vx, Vy) on a :
> Soit k un réel,
>
> HGx = k Vx
> HGy = k Vy
>
> Jusque la ok... mais quel systeme obtient-on avec \vec{AH}.\vec{V} = 0 ?
> Si \vec{AH} = (AHx, AHy)
> J'aurais
> racine_carrée (AHx² + AHy²) . racine_carrée (Vx² + Vy²) . cos (90°) = 0
> je ne peux rien déduire de cette équation ?!!??
>
> Comment trouver les coordonnées de H ?
>[/color]

[Anonyme]

On Mon, 06 Sep 2004 13:36:55 +0200, Fanny Chevalier
wrote:

>Romain M wrote:
>[color=green]
>>avec \vec{AH}.\vec{v} = 0 et \vec{HG}// \vec{v} tu devrais btenir deux
>>équations à deux inconnues...
>>
>>
>D'accord pour l'équation \vec{HG}// \vec{V} :
>Si on note \vect{HG} = (HGx, HGy) et \vec{V} = (Vx, Vy) on a :
>Soit k un réel,
>
>HGx = k Vx
>HGy = k Vy
>
>Jusque la ok... mais quel systeme obtient-on avec \vec{AH}.\vec{V} = 0 ?
>Si \vec{AH} = (AHx, AHy)
>J'aurais
>racine_carrée (AHx² + AHy²) . racine_carrée (Vx² + Vy²) . cos (90°) = 0
>je ne peux rien déduire de cette équation ?!!??
>
>Comment trouver les coordonnées de H ?[/color]
et pourquoi ne pas utiliser xx'+yy' pour le produit scalaire ?
ce qui donne ici AHx*Vx+AHy*Vy=0
or AHx=AGx+GHx=AGx-k*Vx , idem en y
et comme A et G sont connus AGx et AGy le sont
et l'équation AHx*Vx+AHy**Vy=0 va donner une équation d'inconnue k
et évidmment ayant k tu en déduis les coordonnées de H
puisque Hx=Gx-k*Vx

*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam
http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

*****************

[Anonyme]

Fanny Chevalier dixit:

>Romain M wrote:
>[color=green]
>>avec \vec{AH}.\vec{v} = 0 et \vec{HG}// \vec{v} tu devrais btenir deux
>>équations à deux inconnues...
>>
>>
>D'accord pour l'équation \vec{HG}// \vec{V} :
>Si on note \vect{HG} = (HGx, HGy) et \vec{V} = (Vx, Vy) on a :
>Soit k un réel,
>
>HGx = k Vx
>HGy = k Vy
>
>Jusque la ok... mais quel systeme obtient-on avec \vec{AH}.\vec{V} = 0 ?
>Si \vec{AH} = (AHx, AHy)
>J'aurais
>racine_carrée (AHx² + AHy²) . racine_carrée (Vx² + Vy²) . cos (90°) = 0
>je ne peux rien déduire de cette équation ?!!??
>
>Comment trouver les coordonnées de H ?[/color]

Utiliser plutôt l'autre définition du produit scalaire:
1) AH.V = AHx*Vx + AHy*Vy

Mais je recommenderais plutôt la méthode suivante:
vectGA = A - G
calculer la projection ortho du vecteur GA sur vecteur V:
vectGH=(vectGA . V)*V / norme(V)
utiliser la formule 1) pour calculer vectGA.V

Le point correspondant à la projection est G+vectGH

[Anonyme]

Sylvain Croussette dixit:

....

>calculer la projection ortho du vecteur GA sur vecteur V:
>vectGH=(vectGA . V)*V / norme(V)

Euh, erreur ici: c'est
vectGH=(vectGA . V)*V / (norme(V))^2

[Anonyme]

J'ai trouvé la solution par les équations paramétriques :

Soi v = (vx, vy) ; w = (wx, wy) avec w orthogonal a v.
Soit G = (Gx, Gy) et P = (Px, Py)

Soit D la droite de vecteur directeur v et passant par G
on a :
x = Gx + vx . t
y = Gy + vy . t

Soit D' la droite de vecteur directeur w et passant par P
x = Px + wx . k
y = Py + wy . k

On cherche l'intersection donc :
Gx + vx . t = Px + wx . k
Gy + vy . t = Py + wy . k

on en deduis k ou t que l'on reporte dans l'un des système précédents pour
obtenir les coordonnées du projeté orthogonal de P sur la droite D.