Exo basique projection

[Anonyme]

J'ai a peu pres resolu l'exo, me manque plus que la derniere partie que
j'arrive pas a faire, donc si quelqu'un pouvait m'aider...
Soit E=R3, , N2(norme 2)
K = { (x,y,z) appartient a R3, x+y+z=0}
Trouver la projection de f=(a,b,c) appartenant a R3 sur K.

J'ai trouvé donc une base de K, v=vect{v1=(-1,1,0), v2=(-1,0,1)}
Soit f appartenant a R3 f=(a,b,c)
il existe un unique u de K, u = (x,y,z) tq =0 quelque soit v de K.

Donc il faut resoudre le systeme :
(1) x + y + z = 0
(2) = 0
(3) = 0

Mais la ca coince, je sais pas comment resoudre...
Est ce que :
= = racine[(x-a)2 + (b-y)2]
Car dans ce cas, je trouve pas x,y,z a la fin, j'ai du faire une erreur?

[Anonyme]

Cedric wrote:

>J'ai a peu pres resolu l'exo, me manque plus que la derniere partie que
>j'arrive pas a faire, donc si quelqu'un pouvait m'aider...
>Soit E=R3, , N2(norme 2)
>K = { (x,y,z) appartient a R3, x+y+z=0}
>Trouver la projection de f=(a,b,c) appartenant a R3 sur K.
>
>J'ai trouvé donc une base de K, v=vect{v1=(-1,1,0), v2=(-1,0,1)}
>Soit f appartenant a R3 f=(a,b,c)
>il existe un unique u de K, u = (x,y,z) tq =0 quelque soit v de K.
>
>Donc il faut resoudre le systeme :
>(1) x + y + z = 0
>(2) = 0
>(3) = 0
>
>Mais la ca coince, je sais pas comment resoudre...
>Est ce que :
> = = racine[(x-a)2 + (b-y)2]
>Car dans ce cas, je trouve pas x,y,z a la fin, j'ai du faire une erreur?


On peut proceder ainsi, mais les calculs sont assez longs. Dans R^3
il y a une facon plus simple de faire une projection orthogonale sur
un plan passant par l'origine. On prend un vecteur N orthogonal au
plan, et la formule de projection est P = A - N / norme(N)^2.
A est le vecteur à projeter, est le produit scalaire.
(faire un dessin pour comprendre cette formule, c'est simple).

Dans l'exemple, le plan est x+y+z=0 donc N=(1,1,1), et norme(N)^2=3,
A=(a,b,c) alors P=( (2a -b-c)/3, (-a+2b-c)/3, (-a-b+2c)/3 ). On peut
vérifier que = 0, et que P est dans le plan.