Polynomes

[Anonyme]

Bonjour, cela fait déja quelque heures que je suis bloqué à une question de
mon devoir ... pouvez vous m'orienter svp ...

pour n>=1
Pn(X) = (1/2i) [ (X+ i)^(2n+1) - (X- i)^(2n+1)]

je voudrais montrer qe ce polynome est pair et à coefficients réels (en
utilisant la formule du binome)...


j'ai appliqué la formule du binome sur (X+ i)^(2n+1) puis sur (X- i)^(2n+1)]
.... mais je n'obtient jamais de simplifications

[Anonyme]

On Sun, 27 Feb 2005 17:37:28 +0100, "Antilop" wrote:

>Bonjour, cela fait déja quelque heures que je suis bloqué à une question de
>mon devoir ... pouvez vous m'orienter svp ...
>
>pour n>=1
>Pn(X) = (1/2i) [ (X+ i)^(2n+1) - (X- i)^(2n+1)]
>
>je voudrais montrer qe ce polynome est pair et à coefficients réels (en
>utilisant la formule du binome)...
pour la parité en remplacant X par -X , vu que 2n+1 est impair
on voit tout de suite que P est pair

i^(2p) est réel
i^(2p+1) est imaginaire pur

donc dans (X+i)^(2n+1) les termes réels sont de la forme
X^(2n+1-2p)i^(2p)C(2n+1,2p)
>

et dans (X-i)^(2n+1) les termes réels sont de la forme
X^(2n+1-2p)(-i)^(2p)C(2n+1,2p+1)
donc idem et dans la diff ils disparaissent

et le terme entre crochets est bien imaginaire pur
>j'ai appliqué la formule du binome sur (X+ i)^(2n+1) puis sur (X- i)^(2n+1)]
>... mais je n'obtient jamais de simplifications
>
>

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( olympiades mathématiques 1ère S )
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[Anonyme]

Antilop a écrit:
> Bonjour, cela fait déja quelque heures que je suis bloqué à une question de
> mon devoir ... pouvez vous m'orienter svp ...
>
> pour n>=1
> Pn(X) = (1/2i) [ (X+ i)^(2n+1) - (X- i)^(2n+1)]
>
> je voudrais montrer qe ce polynome est pair et à coefficients réels (en
> utilisant la formule du binome)...
>
>
> j'ai appliqué la formule du binome sur (X+ i)^(2n+1) puis sur (X- i)^(2n+1)]
> ... mais je n'obtient jamais de simplifications
>

Etant donné qu'on divise par i on voudrait montrer que le polynome
(X+i)^(2n+1) - (X-i)^(2n+1) est à coeffiants imaginaires purs.
Tu devrais écrire les deux termes de la différence sous forme de somme
et remarquer qu'il y a une simplification quand k est pair (car i^(2k')
= (-i)^(2k').

Pour montrer que ce polynome est pair tu dois montrer que tous les
termes du polynome sont à un degré pair (toujours en ré-écrivant
joliment le polynôme).

--
albert

[Anonyme]

"Antilop" a écrit dans le message de news:
4221f68a$0$22599$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour, cela fait déja quelque heures que je suis bloqué à une question
> de
> mon devoir ... pouvez vous m'orienter svp ...
>
> pour n>=1
> Pn(X) = (1/2i) [ (X+ i)^(2n+1) - (X- i)^(2n+1)]
>
> je voudrais montrer qe ce polynome est pair et à coefficients réels (en
> utilisant la formule du binome)...
>
>
> j'ai appliqué la formule du binome sur (X+ i)^(2n+1) puis sur (X-
> i)^(2n+1)]
> ... mais je n'obtient jamais de simplifications

Pourtant ça devrait marcher, on a donc :
Pn(X) = 1/2i * [sum(i^k X^(2n+1-k),k,0,2n+1) - sum( (-1)^k i^k
X^(2n+1-k),k,0,2n+1)]
= 1/2i * [ sum( (1-(-1)^k) i^k X^(2n+1-k) ,k,1,2n+1) on commence ici
a partir de 1 car en 0 ça donne 0.
= 1/2 * sum (1-(-1)^k) i^(k-1) X^(2n+1-k) , k,1,2n+1)

la il suffit de séparer les termes impairs des termes pairs... regarde ce
qu'il reste... normalement c'est gagné.

[Anonyme]

> Bonjour, cela fait déja quelque heures que je suis bloqué à une question
> de
> mon devoir ... pouvez vous m'orienter svp ...
>
> pour n>=1
> Pn(X) = (1/2i) [ (X+ i)^(2n+1) - (X- i)^(2n+1)]
>
> je voudrais montrer qe ce polynome est pair et à coefficients réels (en
> utilisant la formule du binome)...
>
>
> j'ai appliqué la formule du binome sur (X+ i)^(2n+1) puis sur (X-
> i)^(2n+1)]
> ... mais je n'obtient jamais de simplifications

Ca marche, pourtant:
le coefficient de X^{k} dans (X+i)^{2n+1} est C(2n+1,k) i^{2n+1-k} et dans
(X-i)^{2n+1} c'est (-1)^{2n+1-k} C(2n+1,k) i^{2n+1-k}.
La différence est donc C(2n+1,k) i^{2n+1-k}(1-(-1)^{2n+1-k}).
Si k est impair, cela fait 0, donc le polynôme est pair.
Si k est pair, c'est un imaginaire pur, et avec le facteur 1/(2i) devant on
retombe bien sur un polynôme à coefficients réels.

--
Mû

[Anonyme]

MERCI !

"Antilop" a écrit dans le message news:
4221f68a$0$22599$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour, cela fait déja quelque heures que je suis bloqué à une question
de
> mon devoir ... pouvez vous m'orienter svp ...
>
> pour n>=1
> Pn(X) = (1/2i) [ (X+ i)^(2n+1) - (X- i)^(2n+1)]
>
> je voudrais montrer qe ce polynome est pair et à coefficients réels (en
> utilisant la formule du binome)...
>
>
> j'ai appliqué la formule du binome sur (X+ i)^(2n+1) puis sur (X-
i)^(2n+1)]
> ... mais je n'obtient jamais de simplifications
>
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[Anonyme]

Antilop wrote:
> Bonjour, cela fait déja quelque heures que je suis bloqué à une question de
> mon devoir ... pouvez vous m'orienter svp ...
>
> pour n>=1
> Pn(X) = (1/2i) [ (X+ i)^(2n+1) - (X- i)^(2n+1)]
>
> je voudrais montrer qe ce polynome est pair et à coefficients réels (en
> utilisant la formule du binome)...
>
>
> j'ai appliqué la formule du binome sur (X+ i)^(2n+1) puis sur (X- i)^(2n+1)]
> ... mais je n'obtient jamais de simplifications

Une idée un peu différente (mais classique, me semble-t-il):

si x est réel, si z = x+i et z' = conjugué de z,
alors Pn(x) = (1/2i)(z^n - z'^n) = im(z^n), donc réel.

Pn(x) s'écrit p(X) + iq(X) avec p et q polynômes à coefs réels.

D'après ce qui précède, q est nul sur R, donc q = 0, dont on déduit que
Pn(X) = p(X) est à coefs réels.

Hib.