Produit scalaire et polynomes

[Anonyme]

Bonjour,

on définit dans R[X], (PIQ)=int( P(t)*Q(t)),t=0..1)

on demande d'abord de montrer qu'il existe une suite (Pn) de polynomes
orthonormées telle que qqsoit n, deg(Pn)=n. Alors j'ai fait par recurrence, en
montrant l'existence des coefficients d'un tel polynome.

ensuite on veut montrer que Pn a n racines simples dans ]0,1. On sait Pn a au
plus n racines. On peut êut être le faire encore par recurrence, mais là il
faut calculer les coefficients et tout, c'est un peu lourd, sinon je ne vois
pas...


Ensuite, pour n dans N*, soient a1,...an les racines de Pn, montrer que il
existe m1,...mn dans R^n tels que qqsoit Q dans R_2n-1[X] tel que
int(P(t),t=0..1)=Sum(m_k*P(a_k),k=1..n)

là aucune idée.

merci pour votre aide

[Anonyme]

On orthonormalise (schmidt) la base canonique de R[X] par récurrence ceci
donne Pn.

Maintenant si P a k racines réelles avec k0.
Mais alors si R=(x-alpah_1)...(x-alpha_k) alors
int(P*R,t=0..1)>0 et P doit être orthogonal à R impossible...

Ensuite c'est une question d'orthogonalité.
Posons I(f)=int(f(t),t=0..1)
c'est une forme linéaire sur E=R_n-1[X] (polynômes de degré a écrit dans le message de news:
20040227031004.20206.00000577@mb-m27.aol.com...
> Bonjour,
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> on définit dans R[X], (PIQ)=int( P(t)*Q(t)),t=0..1)
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> on demande d'abord de montrer qu'il existe une suite (Pn) de polynomes
> orthonormées telle que qqsoit n, deg(Pn)=n. Alors j'ai fait par
recurrence, en
> montrant l'existence des coefficients d'un tel polynome.
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> ensuite on veut montrer que Pn a n racines simples dans ]0,1. On sait Pn a
au
> plus n racines. On peut êut être le faire encore par recurrence, mais là
il
> faut calculer les coefficients et tout, c'est un peu lourd, sinon je ne
vois
> pas...
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> Ensuite, pour n dans N*, soient a1,...an les racines de Pn, montrer que il
> existe m1,...mn dans R^n tels que qqsoit Q dans R_2n-1[X] tel que
> int(P(t),t=0..1)=Sum(m_k*P(a_k),k=1..n)
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> là aucune idée.
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> merci pour votre aide
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