bonjour, je suis bloqué encore bloqué à question de mon DM :
pour n>=1
Pn(X) = (1/2i) [ (X+ i)^(2n+1) - (X- i)^(2n+1)]
on me demande de montrer que les racines comples de Pn sont exactement les
Ak = 1 / tan [ (k*Pi) / (2n+1) ] où 1 <= k <= 2n
pouvez vous me donner une asstuce
en simplifiant Pn(X) en utilisant la formule du binome j'obtiens :
pn = X^(2n)*sum( [2k+1parmi 2n+1] (-1/X^2)^k, 0, 1)
Polynomes (autre pb...)
9 messages
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Re: polynomes (autre pb...)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22
> bonjour, je suis bloqué encore bloqué à question de mon DM :
>
> pour n>=1
> Pn(X) = (1/2i) [ (X+ i)^(2n+1) - (X- i)^(2n+1)]
>
> on me demande de montrer que les racines comples de Pn sont exactement les
> Ak = 1 / tan [ (k*Pi) / (2n+1) ] où 1
> pouvez vous me donner une asstuce
>
> en simplifiant Pn(X) en utilisant la formule du binome j'obtiens :
>
> pn = X^(2n)*sum( [2k+1parmi 2n+1] (-1/X^2)^k, 0, 1)
Une astuce, non, mais une méthode utile, oui.
x est une racine de P ssi (x+i)/(x-i) est une racine (2n+1)-ème de l'unité
(on peut diviser par x car i n'est pas une racine de P). Par de petites
manipulations, on peut écrire x sous la forme (u+1)/(u-1) avec u complexe de
module 1. En écrivant u=exp(i t), avec t dans R, et en factorisant au
numérateur et au dénominateur exp(i t/2), on voit apparaître l'écriture
complexe des fonctions sinus et cosinus...
Cete méthode s'appelle "factorisation par l'argument moitié" et est utile à
chaque fois qu'on a des expressions de la forme 1+v, avec v complexe de
module 1.
--
Mû
>
> pour n>=1
> Pn(X) = (1/2i) [ (X+ i)^(2n+1) - (X- i)^(2n+1)]
>
> on me demande de montrer que les racines comples de Pn sont exactement les
> Ak = 1 / tan [ (k*Pi) / (2n+1) ] où 1
> pouvez vous me donner une asstuce
>
> en simplifiant Pn(X) en utilisant la formule du binome j'obtiens :
>
> pn = X^(2n)*sum( [2k+1parmi 2n+1] (-1/X^2)^k, 0, 1)
Une astuce, non, mais une méthode utile, oui.
x est une racine de P ssi (x+i)/(x-i) est une racine (2n+1)-ème de l'unité
(on peut diviser par x car i n'est pas une racine de P). Par de petites
manipulations, on peut écrire x sous la forme (u+1)/(u-1) avec u complexe de
module 1. En écrivant u=exp(i t), avec t dans R, et en factorisant au
numérateur et au dénominateur exp(i t/2), on voit apparaître l'écriture
complexe des fonctions sinus et cosinus...
Cete méthode s'appelle "factorisation par l'argument moitié" et est utile à
chaque fois qu'on a des expressions de la forme 1+v, avec v complexe de
module 1.
--
Mû
Re: polynomes (autre pb...)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22
Merci mr µ !
"µ" a écrit dans le message news:
42249df1$0$837$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > bonjour, je suis bloqué encore bloqué à question de mon DM :
> >
> > pour n>=1
> > Pn(X) = (1/2i) [ (X+ i)^(2n+1) - (X- i)^(2n+1)]
> >
> > on me demande de montrer que les racines comples de Pn sont exactement[/color]
les[color=green]
> > Ak = 1 / tan [ (k*Pi) / (2n+1) ] où 1 >
> > pouvez vous me donner une asstuce
> >
> > en simplifiant Pn(X) en utilisant la formule du binome j'obtiens :
> >
> > pn = X^(2n)*sum( [2k+1parmi 2n+1] (-1/X^2)^k, 0, 1)
>
> Une astuce, non, mais une méthode utile, oui.
> x est une racine de P ssi (x+i)/(x-i) est une racine (2n+1)-ème de l'unité
> (on peut diviser par x car i n'est pas une racine de P). Par de petites
> manipulations, on peut écrire x sous la forme (u+1)/(u-1) avec u complexe[/color]
de
> module 1. En écrivant u=exp(i t), avec t dans R, et en factorisant au
> numérateur et au dénominateur exp(i t/2), on voit apparaître l'écriture
> complexe des fonctions sinus et cosinus...
> Cete méthode s'appelle "factorisation par l'argument moitié" et est utile
à
> chaque fois qu'on a des expressions de la forme 1+v, avec v complexe de
> module 1.
>
> --
> Mû
>
>
"µ" a écrit dans le message news:
42249df1$0$837$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > bonjour, je suis bloqué encore bloqué à question de mon DM :
> >
> > pour n>=1
> > Pn(X) = (1/2i) [ (X+ i)^(2n+1) - (X- i)^(2n+1)]
> >
> > on me demande de montrer que les racines comples de Pn sont exactement[/color]
les[color=green]
> > Ak = 1 / tan [ (k*Pi) / (2n+1) ] où 1 >
> > pouvez vous me donner une asstuce
> >
> > en simplifiant Pn(X) en utilisant la formule du binome j'obtiens :
> >
> > pn = X^(2n)*sum( [2k+1parmi 2n+1] (-1/X^2)^k, 0, 1)
>
> Une astuce, non, mais une méthode utile, oui.
> x est une racine de P ssi (x+i)/(x-i) est une racine (2n+1)-ème de l'unité
> (on peut diviser par x car i n'est pas une racine de P). Par de petites
> manipulations, on peut écrire x sous la forme (u+1)/(u-1) avec u complexe[/color]
de
> module 1. En écrivant u=exp(i t), avec t dans R, et en factorisant au
> numérateur et au dénominateur exp(i t/2), on voit apparaître l'écriture
> complexe des fonctions sinus et cosinus...
> Cete méthode s'appelle "factorisation par l'argument moitié" et est utile
à
> chaque fois qu'on a des expressions de la forme 1+v, avec v complexe de
> module 1.
>
> --
> Mû
>
>
Re: polynomes (autre pb...)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22
> Merci mr µ !
C'est tout naturel, j'ai donné pratiquement la même chose à mes élèves hier
(c'était avec (X+1)^n-1 et un produit de sin(k pi/n)).
Bon courage pour la suite.
--
Mû
C'est tout naturel, j'ai donné pratiquement la même chose à mes élèves hier
(c'était avec (X+1)^n-1 et un produit de sin(k pi/n)).
Bon courage pour la suite.
--
Mû
Re: polynomes (autre pb...)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22
en fait, je n'arrive pas à comprendre votre méthode ... 
pouvez vous me donner un exemple svp ?
"µ" a écrit dans le message news:
4224cb16$0$25029$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > Merci mr µ !
>
> C'est tout naturel, j'ai donné pratiquement la même chose à mes élèves[/color]
hier
> (c'était avec (X+1)^n-1 et un produit de sin(k pi/n)).
> Bon courage pour la suite.
>
> --
> Mû
>
>
pouvez vous me donner un exemple svp ?
"µ" a écrit dans le message news:
4224cb16$0$25029$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > Merci mr µ !
>
> C'est tout naturel, j'ai donné pratiquement la même chose à mes élèves[/color]
hier
> (c'était avec (X+1)^n-1 et un produit de sin(k pi/n)).
> Bon courage pour la suite.
>
> --
> Mû
>
>
Re: polynomes (autre pb...)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22
> en fait, je n'arrive pas à comprendre votre méthode ...
> pouvez vous me donner un exemple svp ?
Sur l'exemple de P=(X+1)^n-1:
un complexe z est racine de P si, et seulement si, (x+1)^n=1, ce qui est
équivalent à: x+1 est de la forme exp(2 i k Pi/n), k=0, ..., n-1, ou encore
x=exp(2 i k Pi/n)-1, k=0, ..., n-1.
Or exp(2 i k Pi/n)-1 = exp(i k Pi/n) * (exp(i k Pi/n) - exp(- i k Pi/n)) =
exp(i k Pi/n) * 2 i sin(k Pi/n).
Dans ton DM, on a une expression de la forme:
[exp(2 i k Pi/n)+1] / [exp(2 i k Pi/n)-1]. En écrivant exp(2 i k Pi/n)-1 =
exp(i k Pi/n) * (exp(i k Pi/n) - exp(- i k Pi/n)) = exp(i k Pi/n) * 2 i
sin(k Pi/n) et exp(2 i k Pi/n)+1 = exp(i k Pi/n) * (exp(i k Pi/n) + exp(- i
k Pi/n)) = exp(i k Pi/n) * 2 cos(k Pi/n), on constate que les exp(i k Pi/n)
se simplifient dans le quotient, et il vient:
[exp(2 i k Pi/n)+1] / [exp(2 i k Pi/n)-1]= -i cotan(k Pi/n).
--
Mû
> pouvez vous me donner un exemple svp ?
Sur l'exemple de P=(X+1)^n-1:
un complexe z est racine de P si, et seulement si, (x+1)^n=1, ce qui est
équivalent à: x+1 est de la forme exp(2 i k Pi/n), k=0, ..., n-1, ou encore
x=exp(2 i k Pi/n)-1, k=0, ..., n-1.
Or exp(2 i k Pi/n)-1 = exp(i k Pi/n) * (exp(i k Pi/n) - exp(- i k Pi/n)) =
exp(i k Pi/n) * 2 i sin(k Pi/n).
Dans ton DM, on a une expression de la forme:
[exp(2 i k Pi/n)+1] / [exp(2 i k Pi/n)-1]. En écrivant exp(2 i k Pi/n)-1 =
exp(i k Pi/n) * (exp(i k Pi/n) - exp(- i k Pi/n)) = exp(i k Pi/n) * 2 i
sin(k Pi/n) et exp(2 i k Pi/n)+1 = exp(i k Pi/n) * (exp(i k Pi/n) + exp(- i
k Pi/n)) = exp(i k Pi/n) * 2 cos(k Pi/n), on constate que les exp(i k Pi/n)
se simplifient dans le quotient, et il vient:
[exp(2 i k Pi/n)+1] / [exp(2 i k Pi/n)-1]= -i cotan(k Pi/n).
--
Mû
Re: polynomes (autre pb...)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22
Merci pour cette réponse rapide µ ! j'obtiens [exp(2 i k Pi/n)+i] / [exp(2 i
k Pi/n)-i] ??
deplus, étant élève de sup (PCSI) je crois que je n'ai pas vu cette méthode
en cours ... donc cela va paraitre louche si je l'utilise en DM! (de même
que nous n'avons pas encore définie cotan) mais bon, même si je ne
l'utiliserais pas dans mon DM, je souhaite la comprendre et l'utiliser
éventuelement en DS ...
"µ" a écrit dans le message news:
42259004$0$11719$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > en fait, je n'arrive pas à comprendre votre méthode ...
> > pouvez vous me donner un exemple svp ?
>
> Sur l'exemple de P=(X+1)^n-1:
> un complexe z est racine de P si, et seulement si, (x+1)^n=1, ce qui est
> équivalent à: x+1 est de la forme exp(2 i k Pi/n), k=0, ..., n-1, ou[/color]
encore
> x=exp(2 i k Pi/n)-1, k=0, ..., n-1.
> Or exp(2 i k Pi/n)-1 = exp(i k Pi/n) * (exp(i k Pi/n) - exp(- i k Pi/n)) =
> exp(i k Pi/n) * 2 i sin(k Pi/n).
> Dans ton DM, on a une expression de la forme:
> [exp(2 i k Pi/n)+1] / [exp(2 i k Pi/n)-1]. En écrivant exp(2 i k Pi/n)-1 =
> exp(i k Pi/n) * (exp(i k Pi/n) - exp(- i k Pi/n)) = exp(i k Pi/n) * 2 i
> sin(k Pi/n) et exp(2 i k Pi/n)+1 = exp(i k Pi/n) * (exp(i k Pi/n) + exp(-
i
> k Pi/n)) = exp(i k Pi/n) * 2 cos(k Pi/n), on constate que les exp(i k
Pi/n)
> se simplifient dans le quotient, et il vient:
> [exp(2 i k Pi/n)+1] / [exp(2 i k Pi/n)-1]= -i cotan(k Pi/n).
>
> --
> Mû
>
>
k Pi/n)-i] ??
deplus, étant élève de sup (PCSI) je crois que je n'ai pas vu cette méthode
en cours ... donc cela va paraitre louche si je l'utilise en DM! (de même
que nous n'avons pas encore définie cotan) mais bon, même si je ne
l'utiliserais pas dans mon DM, je souhaite la comprendre et l'utiliser
éventuelement en DS ...
"µ" a écrit dans le message news:
42259004$0$11719$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > en fait, je n'arrive pas à comprendre votre méthode ...
> > pouvez vous me donner un exemple svp ?
>
> Sur l'exemple de P=(X+1)^n-1:
> un complexe z est racine de P si, et seulement si, (x+1)^n=1, ce qui est
> équivalent à: x+1 est de la forme exp(2 i k Pi/n), k=0, ..., n-1, ou[/color]
encore
> x=exp(2 i k Pi/n)-1, k=0, ..., n-1.
> Or exp(2 i k Pi/n)-1 = exp(i k Pi/n) * (exp(i k Pi/n) - exp(- i k Pi/n)) =
> exp(i k Pi/n) * 2 i sin(k Pi/n).
> Dans ton DM, on a une expression de la forme:
> [exp(2 i k Pi/n)+1] / [exp(2 i k Pi/n)-1]. En écrivant exp(2 i k Pi/n)-1 =
> exp(i k Pi/n) * (exp(i k Pi/n) - exp(- i k Pi/n)) = exp(i k Pi/n) * 2 i
> sin(k Pi/n) et exp(2 i k Pi/n)+1 = exp(i k Pi/n) * (exp(i k Pi/n) + exp(-
i
> k Pi/n)) = exp(i k Pi/n) * 2 cos(k Pi/n), on constate que les exp(i k
Pi/n)
> se simplifient dans le quotient, et il vient:
> [exp(2 i k Pi/n)+1] / [exp(2 i k Pi/n)-1]= -i cotan(k Pi/n).
>
> --
> Mû
>
>
Re: polynomes (autre pb...)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22
> Merci pour cette réponse rapide µ ! j'obtiens [exp(2 i k Pi/n)+i] / [exp(2
> i
> k Pi/n)-i] ??
>
>
> deplus, étant élève de sup (PCSI) je crois que je n'ai pas vu cette
> méthode
> en cours ... donc cela va paraitre louche si je l'utilise en DM! (de même
> que nous n'avons pas encore définie cotan) mais bon, même si je ne
> l'utiliserais pas dans mon DM, je souhaite la comprendre et l'utiliser
> éventuelement en DS ...
Ben tu peux, c'est pas interdit, tant que c'est juste... A partir du moment
où tu n'invoques pas un théorème hors-proigramme, tu peux toujours écrire ce
que tu veux.
Quant à cotan, c'est juste par définition cos/sin.
--
Mû
> i
> k Pi/n)-i] ??
>
>
> deplus, étant élève de sup (PCSI) je crois que je n'ai pas vu cette
> méthode
> en cours ... donc cela va paraitre louche si je l'utilise en DM! (de même
> que nous n'avons pas encore définie cotan) mais bon, même si je ne
> l'utiliserais pas dans mon DM, je souhaite la comprendre et l'utiliser
> éventuelement en DS ...
Ben tu peux, c'est pas interdit, tant que c'est juste... A partir du moment
où tu n'invoques pas un théorème hors-proigramme, tu peux toujours écrire ce
que tu veux.
Quant à cotan, c'est juste par définition cos/sin.
--
Mû
Re: polynomes (autre pb...)
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:22
lol !
ok, maintenant je saurais que 1/tan peut s'écrire cotan
"µ" a écrit dans le message news:
4225c283$0$3134$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > Merci pour cette réponse rapide µ ! j'obtiens [exp(2 i k Pi/n)+i] /[/color]
[exp(2[color=green]
> > i
> > k Pi/n)-i] ??
> >
> >
> > deplus, étant élève de sup (PCSI) je crois que je n'ai pas vu cette
> > méthode
> > en cours ... donc cela va paraitre louche si je l'utilise en DM! (de[/color]
même[color=green]
> > que nous n'avons pas encore définie cotan) mais bon, même si je ne
> > l'utiliserais pas dans mon DM, je souhaite la comprendre et l'utiliser
> > éventuelement en DS ...
>
> Ben tu peux, c'est pas interdit, tant que c'est juste... A partir du[/color]
moment
> où tu n'invoques pas un théorème hors-proigramme, tu peux toujours écrire
ce
> que tu veux.
> Quant à cotan, c'est juste par définition cos/sin.
>
> --
> Mû
>
>
ok, maintenant je saurais que 1/tan peut s'écrire cotan
"µ" a écrit dans le message news:
4225c283$0$3134$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
> > Merci pour cette réponse rapide µ ! j'obtiens [exp(2 i k Pi/n)+i] /[/color]
[exp(2[color=green]
> > i
> > k Pi/n)-i] ??
> >
> >
> > deplus, étant élève de sup (PCSI) je crois que je n'ai pas vu cette
> > méthode
> > en cours ... donc cela va paraitre louche si je l'utilise en DM! (de[/color]
même[color=green]
> > que nous n'avons pas encore définie cotan) mais bon, même si je ne
> > l'utiliserais pas dans mon DM, je souhaite la comprendre et l'utiliser
> > éventuelement en DS ...
>
> Ben tu peux, c'est pas interdit, tant que c'est juste... A partir du[/color]
moment
> où tu n'invoques pas un théorème hors-proigramme, tu peux toujours écrire
ce
> que tu veux.
> Quant à cotan, c'est juste par définition cos/sin.
>
> --
> Mû
>
>
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