Un autre avec des groupes

[Anonyme]

On donne un groupe G, et deux sous-groupes H et K, dont les indices dans G,
respectivement p et q, sont premiers entre eux.

Il s'agit de montrer que G=HK.

Ca fait BIEN LONGTEMPS que je le cherche, celui-la !

\bye

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Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr

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You will be assimilated.

[Anonyme]

nicolas.naime.pas.les.pouriels.francois@free.fr, dans le message
(fr.education.entraide.maths:59202), a écrit :

> On donne un groupe G, et deux sous-groupes H et K, dont les indices dans G,
> respectivement p et q, sont premiers entre eux.
>
> Il s'agit de montrer que G=HK.

Quitte à quotienter par l'intersection des conjugués de H inter K, on peut
supposer que G est fini.

Soit n le cardinal de G, et pqm l'indice de inter K (qui est clairement
divisible par pq).

On considère l'application f:H×K->G (h,k)->hk

Alors f(h,k)=f(h',k') ss'il existe g dans H inter K tel que
h=h'.g^{-1} et k=gk'. Donc la préimage de chaque élément de HK est de
cardinal n/(pqm).

Donc le cardinal de HK est (n/p)(n/q)/(n/(pqm))=nm. Donc m=1 et HK=G.

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Yves