Un peu d'algèbre...

[Anonyme]

Bonjour,
je suis en mpsi et j'aimerai avoir des conseils sur cet exo (classique)
d'algèbre linéaire.
Soit u, v de L(E) tq u+v = id et rg u + rg v = dim E. Il s'agit de montrer
que u et v sont des projecteurs.

Malgré les nombreuses pistes que j'ai, je n'arrive pas à le résoudre.
Pourriez vous juste me donner des indications sur les points à regarder et
non une solution complète.

merci d'avance.

[Anonyme]

> je suis en mpsi et j'aimerai avoir des conseils sur cet exo (classique)
> d'algèbre linéaire.
> Soit u, v de L(E) tq u+v = id et rg u + rg v = dim E. Il s'agit de montrer
> que u et v sont des projecteurs.
>
> Malgré les nombreuses pistes que j'ai, je n'arrive pas à le résoudre.
> Pourriez vous juste me donner des indications sur les points à regarder et
> non une solution complète.

Certainement, c'est même exactement le but de ce forum
L'hypothèse u+v=id nous dit que, si u(x)=0, v(x)=x, donc Ker(u) inclus dans
Ker(v-id), donc dim Ker(u) <= dim Ker(v-id).
Or, en utilisant le théorème du rang et rg(u)+rg(v)=dim E, on en déduit une
inégalité entre rg(v) et dim Ker(v-id).
Mais comme Ker(v-id) est inclus dans Im(v), on a encore une autre inégalité
en passant aux dimensions.
Après, à toi de voir si on ne pourrait pas en déduire que Ker(v) et
Ker(v-id) seraient supplémentaires dans E: déjà leur intersection est {0},
il suffit donc de montrer (Grassmann) que la somme de leur dimension est dim
E. Et je pense qu'avec tout ce qu'on a fait avant ça se fait (merci el
théorème du rang).

--
Mû

[Anonyme]

"µ" a écrit dans le message de news:
421cff86$0$846$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> je suis en mpsi et j'aimerai avoir des conseils sur cet exo (classique)
>> d'algèbre linéaire.
>> Soit u, v de L(E) tq u+v = id et rg u + rg v = dim E. Il s'agit de
>> montrer que u et v sont des projecteurs.
>>
>> Malgré les nombreuses pistes que j'ai, je n'arrive pas à le résoudre.
>> Pourriez vous juste me donner des indications sur les points à regarder
>> et non une solution complète.
>
> Certainement, c'est même exactement le but de ce forum
> L'hypothèse u+v=id nous dit que, si u(x)=0, v(x)=x, donc Ker(u) inclus
> dans Ker(v-id), donc dim Ker(u) Or, en utilisant le théorème du rang et rg(u)+rg(v)=dim E, on en déduit
> une inégalité entre rg(v) et dim Ker(v-id).
> Mais comme Ker(v-id) est inclus dans Im(v), on a encore une autre
> inégalité en passant aux dimensions.
> Après, à toi de voir si on ne pourrait pas en déduire que Ker(v) et
> Ker(v-id) seraient supplémentaires dans E: déjà leur intersection est {0},
> il suffit donc de montrer (Grassmann) que la somme de leur dimension est
> dim E. Et je pense qu'avec tout ce qu'on a fait avant ça se fait (merci el
> théorème du rang).
>
> --
> Mû
>[/color]

[Anonyme]

> Certainement, c'est même exactement le but de ce forum
> L'hypothèse u+v=id nous dit que, si u(x)=0, v(x)=x, donc Ker(u) inclus
> dans Ker(v-id), donc dim Ker(u) Or, en utilisant le théorème du rang et rg(u)+rg(v)=dim E, on en déduit
> une inégalité entre rg(v) et dim Ker(v-id).
> Mais comme Ker(v-id) est inclus dans Im(v), on a encore une autre
> inégalité en passant aux dimensions.
> Après, à toi de voir si on ne pourrait pas en déduire que Ker(v) et
> Ker(v-id) seraient supplémentaires dans E: déjà leur intersection est {0},
> il suffit donc de montrer (Grassmann) que la somme de leur dimension est
> dim E. Et je pense qu'avec tout ce qu'on a fait avant ça se fait (merci el
> théorème du rang).
>

Merci beaucoup pour cette réponse (rapide), en fait je crois être arrivé
jusqu'à là mais, je ne vois pas bien comment en déduire que v est un
projecteur... c'est peut être un point de cours sur la caractérisation des
projecteurs qui me manque...

ps : j'ai peut être envoyé par erreur une réponse sans rien dedans, et je
m'en excuse...

[Anonyme]

> Merci beaucoup pour cette réponse (rapide), en fait je crois être arrivé
> jusqu'à là mais, je ne vois pas bien comment en déduire que v est un
> projecteur... c'est peut être un point de cours sur la caractérisation des
> projecteurs qui me manque...

Si E est la somme directe de Ker(v) et Ker(v-id), c'est gagné: en effet,
tout vecteur x de E s'écrit de manière unique x=y+z, avec y dans Ker(v) et z
dans Ker(v-id).
Alors, v(x)=v(y)+v(z)=0+z=z, et on constate donc, que v est bien la
projection sur Ker(v-id) parallèlement à Ker(v).

--
Mû

[Anonyme]

> Si E est la somme directe de Ker(v) et Ker(v-id), c'est gagné: en effet,
> tout vecteur x de E s'écrit de manière unique x=y+z, avec y dans Ker(v) et
> z dans Ker(v-id).
> Alors, v(x)=v(y)+v(z)=0+z=z, et on constate donc, que v est bien la
> projection sur Ker(v-id) parallèlement à Ker(v).
>

Merci beaucoup pour cette explication qui, il est vrai n'était pas bien
difficile... Cependant j'aimerai savoir quel livre conseillerai tu pour lire
un peu d'algèbre linéaire, sans pour étant être un livre de cours de sup ou
de spé... je recherche un livre général d'algèbre mais pas trop scolaire...
ça existe ?

[Anonyme]

>> Si E est la somme directe de Ker(v) et Ker(v-id), c'est gagné: en effet,[color=green]
>> tout vecteur x de E s'écrit de manière unique x=y+z, avec y dans Ker(v)
>> et z dans Ker(v-id).
>> Alors, v(x)=v(y)+v(z)=0+z=z, et on constate donc, que v est bien la
>> projection sur Ker(v-id) parallèlement à Ker(v).[/color]

D'une manière générale, quand on doit montrer qu'un endomorphisme f est un
projecteur, il est souvent intéressant de chercher à déterminer Ker(f) et
Ker(f-id).

> Merci beaucoup pour cette explication qui, il est vrai n'était pas bien
> difficile... Cependant j'aimerai savoir quel livre conseillerai tu pour
> lire un peu d'algèbre linéaire, sans pour étant être un livre de cours de
> sup ou de spé... je recherche un livre général d'algèbre mais pas trop
> scolaire... ça existe ?

Je ne connais pas de livre d'algèbre linéaire, désolé.

--
Mû

[Anonyme]

Salut,
On peut aussi proceder differement pour cet exercice et montrer que u²=u et
v²=v.
Je donne juste la démarche sans détailler : on montre que E=ker(u)+ker(v)
( somme directe ) en remarquant que x = u²(x)+uov(x)+v(x) puis on conclue
par des jeux d'écriture que u(x)=u²(x).
Sauf erreur ...