Se passer de la convergence monotone

[Anonyme]

Bonjour a tous!
Je voudrais savoir comment répondre à la question 4 (partie I) des mines
2004 (I) http://www.ensae.fr/concours/annales/Math/math_mp1.pdf
en me passant de la convergence monotone. SVP, donnez moi une réponse
précise.
Merci d'avance

[Anonyme]

Clara wrote:
> Bonjour a tous!
> Je voudrais savoir comment répondre à la question 4 (partie I) des mines
> 2004 (I) http://www.ensae.fr/concours/annales/Math/math_mp1.pdf
> en me passant de la convergence monotone. SVP, donnez moi une réponse
> précise.
> Merci d'avance

Il me semble qu'en spé, on apprend une version faible du théorème de
convergence dominée. Je suis à peu près sur que son champ d'application
est ici. Si tu me donnes ta version du théorème de convergence dominée,
je te dirais comment l'adapter.

Bon sinon, je vais couper des epsilons en 4.

I est l'intégrale de 0 à +oo de la fonction f: quotient de arctan(t) par
exp(pi*t)-1.
Remarquons que
f(t)=arctan(t)/(exp(pi*t)-1)=(arctan(t)*exp(-pi*t))/(1-exp(-pi*t))

Soit epsilon > 0. Il existe alors A et B tel que

integrale de B à +oo de f(t) < epsilon.
integrale de A à +oo de f(t) < epsilon

Autrement dit, à 2*epsilon pres, I, c'est l'intégrale de A à B de f(t).

Ensuite, la série entière

1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+...

converge uniformément sur tout compact de ]-1,1[.

Donc la série de fonctions

1/(1-exp(-pi*t))=1+exp(-pi*t)+exp(-2pi*t)+....

converge uniformément [A;B].

Comme arctan(t)exp(-pi*t) est bornée, on a convergence uniforme sur
[A;B] de la série de fonctions:

f(t)=arctan(t)exp(-pi*t)+arctan(t)exp(-2pi*t)+arctan(t)exp(-3pi*t)+...

Donc on peut "permuter intégrale et somme", sur [A;B].

Oups. Je suis allé un peu vite. Y a encore une majoration à epsilon près
à faire. A ton tour, ajuste la démonstration.

Pour la deuxième question c'est une intégration par partie. Faire
attention à la borne infini. Toujours à epsilon près. Je les avais coupé
en 2. A toi de les couper en 4.

Personnellement, je trouve que la convergence monotone a l'avantage de
la simplicité et de l'élégance. Ou le théorème de convergence dominée.

Guillaume Yziquel.

[Anonyme]

C'est avec la convergence dominé que g essayé mais j'arrive pas a vérifier
toutes les hypothèses:
le terme général de la série est intégrable => OK
La série converge => OK
La série des intégrales converge => pas OK ! je majore les intégrales par
qqch dont la série ne converge pas...

CCL: on peut inverser intégral et série.
Pour l'intégration par partie, c'était bon...



"Guillaume Yziquel" a écrit dans le message de
news:421a62c3$0$21875$626a14ce@news.free.fr...
> Clara wrote:[color=green]
> > Bonjour a tous!
> > Je voudrais savoir comment répondre à la question 4 (partie I) des mines
> > 2004 (I) http://www.ensae.fr/concours/annales/Math/math_mp1.pdf
> > en me passant de la convergence monotone. SVP, donnez moi une réponse
> > précise.
> > Merci d'avance
>
> Il me semble qu'en spé, on apprend une version faible du théorème de
> convergence dominée. Je suis à peu près sur que son champ d'application
> est ici. Si tu me donnes ta version du théorème de convergence dominée,
> je te dirais comment l'adapter.
>
> Bon sinon, je vais couper des epsilons en 4.
>
> I est l'intégrale de 0 à +oo de la fonction f: quotient de arctan(t) par
> exp(pi*t)-1.
> Remarquons que
> f(t)=arctan(t)/(exp(pi*t)-1)=(arctan(t)*exp(-pi*t))/(1-exp(-pi*t))
>
> Soit epsilon > 0. Il existe alors A et B tel que
>
> integrale de B à +oo de f(t) integrale de A à +oo de f(t)
> Autrement dit, à 2*epsilon pres, I, c'est l'intégrale de A à B de f(t).
>
> Ensuite, la série entière
>
> 1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+...
>
> converge uniformément sur tout compact de ]-1,1[.
>
> Donc la série de fonctions
>
> 1/(1-exp(-pi*t))=1+exp(-pi*t)+exp(-2pi*t)+....
>
> converge uniformément [A;B].
>
> Comme arctan(t)exp(-pi*t) est bornée, on a convergence uniforme sur
> [A;B] de la série de fonctions:
>
> f(t)=arctan(t)exp(-pi*t)+arctan(t)exp(-2pi*t)+arctan(t)exp(-3pi*t)+...
>
> Donc on peut "permuter intégrale et somme", sur [A;B].
>
> Oups. Je suis allé un peu vite. Y a encore une majoration à epsilon près
> à faire. A ton tour, ajuste la démonstration.
>
> Pour la deuxième question c'est une intégration par partie. Faire
> attention à la borne infini. Toujours à epsilon près. Je les avais coupé
> en 2. A toi de les couper en 4.
>
> Personnellement, je trouve que la convergence monotone a l'avantage de
> la simplicité et de l'élégance. Ou le théorème de convergence dominée.
>
> Guillaume Yziquel.[/color]

[Anonyme]

Clara a exprimé avec précision :
> Bonjour a tous!
> Je voudrais savoir comment répondre à la question 4 (partie I) des mines
> 2004 (I) http://www.ensae.fr/concours/annales/Math/math_mp1.pdf
> en me passant de la convergence monotone. SVP, donnez moi une réponse
> précise.
> Merci d'avance

Juste par curiosité, pourquoi tu ne veux pas utiliser la convergence
monotone ?

[Anonyme]

Elle n'est plus au programme de Spé...



"Romain M" a écrit dans le message de
news:mn.b47f7d52cb9fe48e.28168@nospam.com...
> Clara a exprimé avec précision :[color=green]
> > Bonjour a tous!
> > Je voudrais savoir comment répondre à la question 4 (partie I) des mines
> > 2004 (I) http://www.ensae.fr/concours/annales/Math/math_mp1.pdf
> > en me passant de la convergence monotone. SVP, donnez moi une réponse
> > précise.
> > Merci d'avance
>
> Juste par curiosité, pourquoi tu ne veux pas utiliser la convergence
> monotone ?
>
>[/color]

[Anonyme]

Clara a utilisé son clavier pour écrire :
> Elle n'est plus au programme de Spé...

Ah ok.
Mon prof de spé disait qu'on enlève tellement de choses dans le
programme qu'un jour il faudra bien en rajouter parce qu'on ne pourra
plus en enlever.

[Anonyme]

Clara wrote:
> C'est avec la convergence dominé que g essayé mais j'arrive pas a vérifier
> toutes les hypothèses:
> le terme général de la série est intégrable => OK
> La série converge => OK
> La série des intégrales converge => pas OK ! je majore les intégrales par
> qqch dont la série ne converge pas...

Il faudrait que tu me cite ta version du théorème de convergence
dominée. Parce que je sais que c'est pas le même que le mien.

Le mien c'est:

Soit (f_n) une suite de fonctions mesurables.
Si il existe une fonction intégrable au sens de Lebesgue qui domine les
les valeurs absolues des fonctions |f_n|,
Si f_n admet en presque tout point une limite ponctuelle, ce qui définit
une fonction mesurable f_oo, alors
l'intégrale des f_n converge vers l'intégrale de f_oo

Bon, à priori, tu n'a jamais vu d'intégrale de Lebesgue. Pour remettre
dans le bain de la taupe, il me faut ta version...

[Anonyme]

C celle que g donnée juste avant...


"Guillaume Yziquel" a écrit dans le message de
news:421bc3b8$0$8115$636a15ce@news.free.fr...
> Clara wrote:[color=green]
> > C'est avec la convergence dominé que g essayé mais j'arrive pas a[/color]
vérifier[color=green]
> > toutes les hypothèses:
> > le terme général de la série est intégrable => OK
> > La série converge => OK
> > La série des intégrales converge => pas OK ! je majore les intégrales[/color]
par[color=green]
> > qqch dont la série ne converge pas...
>
> Il faudrait que tu me cite ta version du théorème de convergence
> dominée. Parce que je sais que c'est pas le même que le mien.
>
> Le mien c'est:
>
> Soit (f_n) une suite de fonctions mesurables.
> Si il existe une fonction intégrable au sens de Lebesgue qui domine les
> les valeurs absolues des fonctions |f_n|,
> Si f_n admet en presque tout point une limite ponctuelle, ce qui définit
> une fonction mesurable f_oo, alors
> l'intégrale des f_n converge vers l'intégrale de f_oo
>
> Bon, à priori, tu n'a jamais vu d'intégrale de Lebesgue. Pour remettre
> dans le bain de la taupe, il me faut ta version...[/color]

[Anonyme]

Clara wrote:
> C'est avec la convergence dominé que g essayé mais j'arrive pas a vérifier
> toutes les hypothèses:
> le terme général de la série est intégrable => OK

Je veux bien te croire.

> La série converge => OK

C'est là où j'ai besoin de ta définition.
Converge, en quel sens ?

Convergence simple? je ne pense pas, on parlerai de fonction mesurable.

Convergence uniforme ? j'en doute fortement.

Convergence simple vers une fonction réglée/continue/intégrable au sens
de Riemann ?

Et pour jouer au con : convergence au sens des distributions ?

Bon j'admet ce point. Je croirais que c'est convergence simple vers une
fonction continue.

> La série des intégrales converge => pas OK ! je majore les intégrales par
> qqch dont la série ne converge pas...

Je ne comprends pas cette hypothèse. Dans un théorème de convergence
dominée, en général, on domine les valeurs absolues des fonctions (f_n)
par une fonction intégrable. Là, il n'y a pas de domination par une
fonction, pas de valeurs absolues... ???

Tu m'as dis dans un message que c'était les hypothèses de ton théorème.
Je ne les comprends pas. C'est trop elliptique.

Alors je repète: Peux-tu me citer le théorème de convergence dominée tel
que ton cours le présente, mot pour mot, pour que je puisse me faire une
idée.

Pour moi, pour l'instant, la réponse est

Convergence simple (presque)-partout vers une fonction mesurable.
Domination évidente par une fonction Lebesgue-intégrable.
Donc convergence de l'intégrale vers l'intégrale de la limite simple.

C'est tout aussi elliptique. N'est-ce pas ?

[Anonyme]

Dans son message précédent, Guillaume Yziquel a écrit :
> Alors je repète: Peux-tu me citer le théorème de convergence dominée tel que
> ton cours le présente, mot pour mot, pour que je puisse me faire une idée.

A mon avis, Clara ne parlait pas du vrai théorème de convergence
dominée, mais d'un théorème qui est une conséquence du théorème de la
convergence dominée :
Si S(u_n) est une série d'applications de I dans lR, avec I intervalle
réel, et si :
1/ pour tout n, u_n est continue (éventuellement par morceaux) sur I et
intégrable sur I
2/ S(u_n) converge simplement sur I vers une fonction f continue (par
morceaux) sur I
3/ pour tout n, u_n est positive.
Alors, on a l'équivalence :
f est intégrable sur I la série numériques S( N(u_n)_1 ) converge.
Dans ce cas :
on peut inverser la somme et l'intégrale, c'est-à-dire int(f, I) =
somme(int(u_n, I), n=0..infty).

Toutes les histoires d'intégrabilités sont bien sur à prendre au sens
de Riemman si on veut rester dans le programme de spé.
Pour g intégrable sur I, N(g)_1 désigne l'intégrale sur I du module de
g.

[Anonyme]

Romain M avait écrit le 24/02/05 :
> Si S(u_n) est une série d'applications de I dans lR, avec I intervalle réel,
> et si :
> 1/ pour tout n, u_n est continue (éventuellement par morceaux) sur I et
> intégrable sur I
> 2/ S(u_n) converge simplement sur I vers une fonction f continue (par
> morceaux) sur I
> 3/ pour tout n, u_n est positive.
> Alors, on a l'équivalence :
> f est intégrable sur I la série numériques S( N(u_n)_1 ) converge.
> Dans ce cas :
> on peut inverser la somme et l'intégrale, c'est-à-dire int(f, I) =
> somme(int(u_n, I), n=0..infty).

En fait, ça c'est plutôt en rapport avec le théorème de convergence
monotone.
Pour voir ça comme une conséquence du théorème de la convergence
dominée,
on peut enlever l'hypothèses 3/ de positivité des u_n, et alors,
l'implication dans le sens "<=" reste vraie, ainsi que l'interversion
de la somme et de l'intégrale.

Ca donne pour les hypothèses :
1/ continuité et intégrabilité des u_n sur I
2/ convergence simple de S(u_n) vers f continue sur I
3/ convergence de la série numérique des || u_n ||_1.

[Anonyme]

Clara a pensé très fort :
> C'est avec la convergence dominé que g essayé mais j'arrive pas a vérifier
> toutes les hypothèses:
> le terme général de la série est intégrable => OK
> La série converge => OK

Notons f(t) = exp(-Pi*t)/(1-exp(-Pi*t))*Arctan(t) pour tout t dans lR+.
Comme t est positif, exp(-Pi*t) est dans [0,1[, et donc on reconnaît la
somme d'une série géométrique :
pour tout t dans lR+,
exp(-Pi*t)/(1-exp(-Pi*t)) = somme( exp(-Pi*n*t), n=1..infty ).
Ainsi, pour tout t dans lR+, f(t) = somme( exp(-Pi*n*t)*Arctan(t),
n=1..infty ).

On pose alors u_n(t) = exp(-Pi*n*t)*Arctan(t) pour tout t dans lR+.
Jusque là tu avais fait comme ça ?

> La série des intégrales converge => pas OK ! je majore les intégrales par
> qqch dont la série ne converge pas...

Je suppose que tu as majoré Arctan(t) par Pi/2.
Cela donne :
int( exp(-k*Pi*t)*Arctan(t), t=0..infty )
=< Pi/2 * int( exp(-k*Pi*t), t=0..infty )
=< Pi/2 * [ -1/(k*Pi) exp(-k*Pi*t) ]_0^{infty}
(le crochet à prendre entre 0 et l'infini ne plaît pas à
certains, remplace-le par une limite si tu préfères)
=< 1/(2*k)
donc là on obtient le terme général d'une série divergente.

Il faut majorer moins brutalement Arctan(t).
Que penses-tu de prendre comme point de départ Arctan(t) =< t ?
Ca donne après calculs (je te laisse les faire) :
int( exp(-k*Pi*t)*Arctan(t), t=0..infty ) =< 1/(k*Pi)^2.

[Anonyme]

C'est exactement ca ! J'avais fait exactement comme ca!
Merci; j'avais pas pensé à majorer artant par t, c vrai que c'est bien moins
fort...
Mille fois merci !




"Romain M" a écrit dans le message de
news:mn.c3f17d52544952ee.28524@nospam.com...
> Clara a pensé très fort :[color=green]
> > C'est avec la convergence dominé que g essayé mais j'arrive pas a[/color]
vérifier[color=green]
> > toutes les hypothèses:
> > le terme général de la série est intégrable => OK
> > La série converge => OK
>
> Notons f(t) = exp(-Pi*t)/(1-exp(-Pi*t))*Arctan(t) pour tout t dans lR+.
> Comme t est positif, exp(-Pi*t) est dans [0,1[, et donc on reconnaît la
> somme d'une série géométrique :
> pour tout t dans lR+,
> exp(-Pi*t)/(1-exp(-Pi*t)) = somme( exp(-Pi*n*t), n=1..infty ).
> Ainsi, pour tout t dans lR+, f(t) = somme( exp(-Pi*n*t)*Arctan(t),
> n=1..infty ).
>
> On pose alors u_n(t) = exp(-Pi*n*t)*Arctan(t) pour tout t dans lR+.
> Jusque là tu avais fait comme ça ?
>
> > La série des intégrales converge => pas OK ! je majore les intégrales[/color]
par[color=green]
> > qqch dont la série ne converge pas...
>
> Je suppose que tu as majoré Arctan(t) par Pi/2.
> Cela donne :
> int( exp(-k*Pi*t)*Arctan(t), t=0..infty )
> = = (le crochet à prendre entre 0 et l'infini ne plaît pas à
> certains, remplace-le par une limite si tu préfères)
> = donc là on obtient le terme général d'une série divergente.
>
> Il faut majorer moins brutalement Arctan(t).
> Que penses-tu de prendre comme point de départ Arctan(t) = Ca donne après calculs (je te laisse les faire) :
> int( exp(-k*Pi*t)*Arctan(t), t=0..infty ) =
>[/color]