Intersection sphère/sphère

[Anonyme]

Bonjour,

Je suis en PTSI et j'ai un petit problème avec l'intersection de 2 sphères
:
--- > la première sphère a pour équation : x^2 + y^2 + z^2 - 6x -
8z = -16
---> la seconde sphère a pour équation : x^2 + y^2 + z^2 -2x -
4y - 6z = -10
On me demande de montrer que l'intersection est un cercle ( il faut aussi
préciser les caractéristiques de ce cercle) . Je sais pas pourquoi mais je
bug complet sur cette question qui doit pourtant se résoudre facilement je
pense .
Merci d'avance
Matthieu

[Anonyme]

gautal wrote:

> Bonjour,
>
> Je suis en PTSI et j'ai un petit problème avec l'intersection de 2 sphères
> :
> --- > la première sphère a pour équation : x^2 + y^2 + z^2 - 6x -
> 8z = -16
> ---> la seconde sphère a pour équation : x^2 + y^2 + z^2 -2x -
> 4y - 6z = -10
> On me demande de montrer que l'intersection est un cercle ( il faut aussi
> préciser les caractéristiques de ce cercle) . Je sais pas pourquoi mais je
> bug complet sur cette question qui doit pourtant se résoudre facilement je
> pense .

Soient
(S1) : x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8z = -16
(S2) : x^2 + y^2 + z^2 -2x - 4y - 6z = -10

(S2)-(S1) : 4x - 4y + 2z = 6
Je note (P1) : 2x - 2y + z = 3

L'intection de (S1) et (S2) est aussi l'intersection de (S1) et (P1)
par exemple. Ensuite, 3 cas se présentent :
- le plan est tangeant à la sphère : l'intersection est un point.
- le plan ne coupe pas la sphère : l'intersection est vide.
- le plan coupe la sphère : l'intersection est alors un cercle.

Pour déterminer dans quel cas on se trouve, il faut calculer le
projeté orthogonal du centre de (S1) sur (P1), et comparer la distance
entre le projeté et le centre avec le rayon de la sphère.

Anh Vu

[Anonyme]

Je te remercie pour tes précieux conseils . En fait je viens de comprendre
que l'intersection sphère/sphère se résume à celle d'un plan Merci encore
Matthieu

[Anonyme]

gautal wrote:

> Bonjour,

bonjour
>
> Je suis en PTSI et j'ai un petit problème avec l'intersection de 2 sphères
> :
cela peut se résoudre niveau (bonne ) 1ère S :
> --- > la première sphère a pour équation : x^2 + y^2 + z^2 - 6x -
> 8z = -16

on la note S1:x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8z = -16
mais il est plus judicieux de la noter
S1:(x-3)^2 + y^2 + (z-4)^2 = 3^2(tu le vérifies)
donc S1 est de centre A(3;0;4) et de rayon 3 et si M appartient à S1 on
a l'équation AM=3

> ---> la seconde sphère a pour équation : x^2 + y^2 + z^2 -2x -
> 4y - 6z = -10
on la note S2:x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z = -10
mais il est plus judicieux de la noter
S2:(x-1)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 2^2(tu le vérifies)
donc S2 est de centre B(1;2;3) et de rayon 2 et si M appartient à S2 on
a l'équation BM=2
> On me demande de montrer que l'intersection est un cercle ( il faut aussi
> préciser les caractéristiques de ce cercle) .

si M appartient aux deux sphères on a AM=3 et BM=2,
donc 3BM = 2AM,on passe au carré
9 BM" = 4AM" on passe tout du même côté
9 BM" - 4AM" = 0 en utilisant identité remarquable,vecteurs et
produit scalaire ,on obtient
=0
bon je vais te laisser terminer,il y a peut-être des histoires de
barycentres ...
> Merci d'avance
de rien,bon courage
> Matthieu
ben