Intégrales.

[Anonyme]

Toutes les intégrales de Riemann sont-elles intégrables au sens de Lebesgue
?
Quelles différences ya-t-il entre les deux intégrales ?
Merci.

[Anonyme]

kergilles a écrit :
> Toutes les intégrales de Riemann sont-elles intégrables au sens de Lebesgue

Oui toutes. Ce n'est pas le cas des intégrales de Cauchy je crois, il
faut ajouter que la fonction est bornée.


> Quelles différences ya-t-il entre les deux intégrales ?

Le plus gros résultat de l'intégrale de Lebesgue est le théorème de
convergence dominée. Pour Riemmann, si on a une suite convergente de
fonctions intégrables, on ne peut affirmer que la limite est intégrable
que si la convergence est uniforme. Pour Lebesgue on a une condition
beaucoup plus faible : il suffit qu'il existe une fonction intégrable
qui majore chaque fonction de la suite.

De ce théorème, il résulte que l'espace des fonctions intégrables de X
dans R est un espace de Cauchy pour la norme ||f|| = intégrale de f sur
X. C'est un espace beaucoup plus intéressant que celui de la
convergence uniforme.

Pierre

[Anonyme]

> > Toutes les intégrales de Riemann sont-elles intégrables au sens de
Lebesgue
>
> Oui toutes. Ce n'est pas le cas des intégrales de Cauchy je crois, il
> faut ajouter que la fonction est bornée.
>

Qu'entends-tu par intégrale de Cauchy ?
Sinon l'intégrale de Riemann généralisée d'une fonction sommable coïncide
avec son intégrale de Lebesgue (par le théorème de convergence monotone et
le fait qu'elles coïncident sur les segments), mais c'est je dirais faux
pour les intégrales riemanniennes impropres ...

[Anonyme]

Soit I un intervalle de R et f : I --> F une fonction.


Définition 1 :

On dit que f est intégrable au sens de Cauchy si elle
admet une primitive.

C'est donc la définition classique qu'on donne en
terminale, sauf que :


Définition 2:

On dit que f admet une primitive g : I --> R
si g est continue et s’il existe une partie D de I
au plus dénombrable telle que g soit dérivable sur
I \ D et de dérivée égale à f.


Et d'après ce qu'on m'a dit, il existe des fonction
C-intégrables qui ne sont pas R-intégrables, ni même
L-intégrables.

Pierre

[Anonyme]

> Soit I un intervalle de R et f : I --> F une fonction.

Donc nous parlons d'un intervalle éventuellement ouvert là ? OK

> Définition 1 :
>
> On dit que f est intégrable au sens de Cauchy si elle
> admet une primitive.

Merci pour la déf, j'avais jamais entendu parler de ça.

>
> C'est donc la définition classique qu'on donne en
> terminale, sauf que :
>

Ahhhh

>
> Définition 2:
>
> On dit que f admet une primitive g : I --> R
> si g est continue et s’il existe une partie D de I
> au plus dénombrable telle que g soit dérivable sur
> I \ D et de dérivée égale à f.
>

Oui vaut mieux sinon ç'aurait voulu dire que toute fonction C-intégrable est
R-intégrable et L-intégrable (sauf pour les intégrales impropres), car une
telle fonction aurait été localement intégrable d'intégrale coïncidant avec
celle de Riemann sur les segments.

>
> Et d'après ce qu'on m'a dit, il existe des fonction
> C-intégrables qui ne sont pas R-intégrables, ni même
> L-intégrables.

Si f n'est pas bornée, c'est évident; si f est bornée et que le nombre de
points d'accumulation de D est fini, la C-intégrale sur un segment coïncide
avec la R-intégrale (et donc la L aussi), car sur chacun des petits
sous-intervalles ]a_i,b_i[ où a_i et b_i sont dans I\D de sorte
que ]a_i,b_i[ Intersec I\D soit vide, f (qui est bornée) sera R-intégrable,
donc L-intégrable, et on utilise alors le lemme bien connu sur l'intégration
des séries pour conclure.

Mon problème, c'est: que se passe-t-il si D admet un nombre infini
dénombrable de points d'accumulations (I étant toujours un segment, le cas
d'un intervalle se réglant de façon similaire puisqu'on prend f bornée) ?
C'est donc parmi ces cas que l'on va trouver des fonctions C mais non R
intégrables...

Maintenant pour des fonctions C-int et non L-int alors là faut en plus que f
ne soit pas mesurable (car elle est déjà bornée) ... alors là bonjour la
difficulté (si jamais c'est possible)...

Si qqn peut m'éclairer sur les deux derniers points c'est tout bon o_O

++

--
Julien Santini