Intégrale, résidus

[Anonyme]

salut,

petite intégrale qui me pose probleme : 1/(x^n+1)

l'idée est de prendre la fonction complexe 1/(z^n+1) dont les poles
simples sont les zéro de l'équation z^n = -1, soit exp[i(pi/n +
2k*pi/n)]

on prend un contour fermé, formé d'un arc de cercle centré en 0, de
rayon R>1, et d'angle theta (à déterminer...) de sorte à entourer
uniquement le 1er pôle, qui est z0 = exp(i*pi/n)

d'après le théorème des résidus on a l'intégrale sur le contour qui est
égale à 2i*pi*Res(f,z0)=2i*pi*(z-z0)/(1+z^n) = 2i*pi/(n*z0^(n-1)) (th.
de l'hopital)

or z^n = -1 donc -2i*(pi/n)*z0

avec z0 = exp(i*pi/n)

l'intégrale est aussi égale à la somme des intégrales sur les
différentes parties du contour, l'intégrale réelle sur l'axe 0x de 0 à
R, l'intégrale sur l'arc (qui s'annule par le lemme de Jordan lorsqu'on
fait tendre R vers l'infini) et l'intégrale sur le retour vers
l'origine.

sur le trajet de retour vers l'origine, theta est constant, et r varie,
je pose z=r*exp(i*theta)
donc dz = dr*exp(i*theta)

on injecte z et dz dans dz/(1+z^n)...

le truc c'est que je me demande quel angle prendre, il faut qu'il soit
compris entre le 1re pole et le second, pour n'entourer qu'un pole...
or dans mon corriger de td, le prof a prit (si j'ai bien recopié ce qui
me semble étrange) un angle theta = pi/n, ce qui fait que le contour
passe sur le pôle !

que pouvez-vous me dire ?

--
Nico,
http://astrosurf.com/nicoastro
http://nicolas.aunai.free.fr

[Anonyme]

> que pouvez-vous me dire ?

Que tu confonds 2Pi/n et Pi/n
Amities,
Olivier

[Anonyme]

> Que tu confonds 2Pi/n et Pi/n
Oups !
"Qu'il confond 2Pi/n et Pi/n" !

Voila, c'est mieux !
Amities,
Olivier

[Anonyme]

Olve avait prétendu :[color=green]
>> que pouvez-vous me dire ?
>
> Que tu confonds 2Pi/n et Pi/n
> Amities,
> Olivier[/color]



exact, j'ai refait le truc, et l'angle d'arret de l'arc de cercle est
2pi/n, puisque le 1er pole est à pi/n et le second à 3pi/n !!!

on trouve bien 1/sinc(pi/n)

a+

--
Nico,
http://astrosurf.com/nicoastro
http://nicolas.aunai.free.fr

[Anonyme]

Olve a exposé le 10/11/2004 :[color=green]
>> Que tu confonds 2Pi/n et Pi/n
> Oups !
> "Qu'il confond 2Pi/n et Pi/n" !
>
> Voila, c'est mieux ![/color]


non non, c'est quasiment sûr que c'est moi qui sait pas me relire

--
Nico,
http://astrosurf.com/nicoastro
http://nicolas.aunai.free.fr