Bonjour,
je bloque sur un petit point de l'exo suivant.
----- Enoncé -----
On définit, pour tout entier naturel n, le carré Qn dans le plan complexe
par Qn = {z = x+i*y, avec |x| = 0 tel que pour tout n dans lN et pour tout z
appartenant au bord du carré :
|cotan(Pi*z)| = 0, ces pôles
sont tous simples et sont exactement :
b*i, -b*i, et tous les élèments de Z.
Valeurs des résidus en ces points (j'ai vérifié avec Maple) :
pour tout entier k relatif,
Rés(f, k) = 1 / (b²+k²)
pour i*b et -i*b,
Res(f, +ou- i*b) = - Pi / (2*b) * coth(b*Pi).
b) Là je bloque.
c) Théorèmé des résidus, en citant bien les hypothèses, appliqué pour n fixé
:
l'intégrale de f sur dQn = 2*i*Pi*[ Sigma Rés(z_k(n)) ]
où les z_k(n) sont les pôles de f contenus dans le carré (ils sont en nombre
fini)
Donc, quand n -> infty,
intégrale de f sur dQn tends vers 0, et donc :
0 = 2i*Pi*(sommes de tous les résidus)
et on obtient si je me suis pas trop trompé :
sigma( 1/(n²+b²), n=1..infty)
= Pi/4*coth(b*Pi) - 1/(2*b²).
(joli résultat au passage !)
----- Fin de ce que j'ai su faire -----
Pour la question 2.b),
il est fort possible que le résultat de la question 1) nous serve ici,
puisqu'il ne sert pour aucune autre question !!
----- Ce que j'ai essayé de faire pour 2.b) -----
----- Et pourquoi ça bug -----
pour tout n entier naturel et pour tout z sur le bord du carré,
|cotan(Pi*z)| = gamma(t)
telle que pour t dans [0,1], gamma(t+1) = exp(i*Pi) * gamme(t),
soit gamma(t+1) = - gamma(t) (*)
L'intégrale qu'on cherche vaut :
int ( gamma'(t) / [gamma(t)² + b²] , t = 0..1)
+ int ( même chose, t = 1..2)
En faisant un changement de variable u = t-1 dans la deuxième intégrale et
en utilisant (*), on obtient :
int ( gamma'(t) / [gamma(t)² + b²] dt , t = 0..1)
+ int ( -gamma'(u) / [gamma(u)² + b²] du , u = 0..1),
ce qui fait : 0.
Je résume :
int( f, dQn) = 0.
Et dans l'énoncé on demande :
int( f, dQn) -> 0 quand n tend vers infty.
Evidément ce que je trouve ne contredit pas l'énoncé, mais si c'était vrai,
l'énoncé demanderait ce que je trouve, qui est plus précis...
Un argument plus sérieux :
par exemple, pour n = 0 et b assez grand (pour que i*b soit à l'extérieur du
carré, par exemple b=1) :
int( f, dQn) = 2*i*Pi
d'apres la formule des résidus, car Qn contient un seul pôle : 0, et son
résidu vaut 1/b² = 1 dans mon cas particulier.
Donc je ne trouve pas int( f, dQn) = 0.
----- Fin de ce que j'ai pensé à faire -----
Voilà, je suis donc sûr que j'ai faux mais je ne vois pas à quel endroit.
Si quelqu'un pouvait m'éclairer...
Merci de votre aide.
Merci à ceux qui ont eu le courage de lire le message en entier.
Romain.
Intégrale curviligne, résidus, etc.
7 messages
- Page 1 sur 1
Re: intégrale curviligne, résidus, etc.
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:06
Au § 2.b, pour calculer int[dz/(z^2 + b^2)], on peut décomposer en :
int[dz/(z - i*b) - dz/(z + i*b)]
ce qui donne une différence de logarithmes, et il me semble bien qu'on
trouve que ça tend vers 0 pour n tend vers l'infini.
A.J.
"Romain M" a écrit dans le message de news:
41c70b0b$0$26552$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour,
> je bloque sur un petit point de l'exo suivant.
>
>
> ----- Enoncé -----
>
> On définit, pour tout entier naturel n, le carré Qn dans le plan complexe
> par Qn = {z = x+i*y, avec |x| =
> 1°) Montrer qu'il existe M > 0 tel que pour tout n dans lN et pour tout z
> appartenant au bord du carré :
> |cotan(Pi*z)| =
> 2°) On considère la fonction
> f(z) = Pi*cotan(Pi*z) / (z^2+b^2)
> où b est un élèment de lR+*.
> a) Déterminer les points singuliers de f et le résidu de f en chacun de
> ces
> points.
> b) Montrer que l'intégrale de f sur le bord du carré dQn tends vers 0
> quand
> n tends vers l'infini.
> c) En déduire la somme de la série :
> sigma( 1/(n²+b²), n=1..infty).
>
> ----- Fin de l'énoncé -----
>
>
>
> ----- Ce que j'ai su faire -----
>
> 1°) Pas de problème, on s'en sort bien avec les formules cos(a+b)=etc., et
> je trouve que la valeur M = ch(Pi/2) / sh(Pi/2) = coth(Pi/2) convient.
>
> 2°)
> a) Les points singuliers sont tous des pôles ici, et comme b > 0, ces
> pôles
> sont tous simples et sont exactement :
> b*i, -b*i, et tous les élèments de Z.
> Valeurs des résidus en ces points (j'ai vérifié avec Maple) :
> pour tout entier k relatif,
> Rés(f, k) = 1 / (b²+k²)
> pour i*b et -i*b,
> Res(f, +ou- i*b) = - Pi / (2*b) * coth(b*Pi).
>
> b) Là je bloque.
>
> c) Théorèmé des résidus, en citant bien les hypothèses, appliqué pour n
> fixé
> :
> l'intégrale de f sur dQn = 2*i*Pi*[ Sigma Rés(z_k(n)) ]
> où les z_k(n) sont les pôles de f contenus dans le carré (ils sont en
> nombre
> fini)
> Donc, quand n -> infty,
> intégrale de f sur dQn tends vers 0, et donc :
> 0 = 2i*Pi*(sommes de tous les résidus)
> et on obtient si je me suis pas trop trompé :
> sigma( 1/(n²+b²), n=1..infty)
> = Pi/4*coth(b*Pi) - 1/(2*b²).
> (joli résultat au passage !)
>
> ----- Fin de ce que j'ai su faire -----
>
>
>
> Pour la question 2.b),
> il est fort possible que le résultat de la question 1) nous serve ici,
> puisqu'il ne sert pour aucune autre question !!
>
> ----- Ce que j'ai essayé de faire pour 2.b) -----
> ----- Et pourquoi ça bug -----
>
> pour tout n entier naturel et pour tout z sur le bord du carré,
> |cotan(Pi*z)| = donc | f(z) | = et on majore ainsi l'intégrale :
> | int(f, dQn) | = = Pour calculer int( dz / |z²+b²|, dQn), j'ai d'abord essayé de paramétrer
> le
> chemin "en 4 fois" et de faire des gros calculs, et j'ai vite abandonné,
> en
> remarquant simplement que :
> comme dQn est symétrique par rapport à O,
> on peut paramétrer le chemin par :
> t \in [0,2] -> gamma(t)
> telle que pour t dans [0,1], gamma(t+1) = exp(i*Pi) * gamme(t),
> soit gamma(t+1) = - gamma(t) (*)
> L'intégrale qu'on cherche vaut :
> int ( gamma'(t) / [gamma(t)² + b²] , t = 0..1)
> + int ( même chose, t = 1..2)
> En faisant un changement de variable u = t-1 dans la deuxième intégrale et
> en utilisant (*), on obtient :
> int ( gamma'(t) / [gamma(t)² + b²] dt , t = 0..1)
> + int ( -gamma'(u) / [gamma(u)² + b²] du , u = 0..1),
> ce qui fait : 0.
>
> Je résume :
> int( f, dQn) = 0.
> Et dans l'énoncé on demande :
> int( f, dQn) -> 0 quand n tend vers infty.
> Evidément ce que je trouve ne contredit pas l'énoncé, mais si c'était
> vrai,
> l'énoncé demanderait ce que je trouve, qui est plus précis...
> Un argument plus sérieux :
> par exemple, pour n = 0 et b assez grand (pour que i*b soit à l'extérieur
> du
> carré, par exemple b=1) :
> int( f, dQn) = 2*i*Pi
> d'apres la formule des résidus, car Qn contient un seul pôle : 0, et son
> résidu vaut 1/b² = 1 dans mon cas particulier.
> Donc je ne trouve pas int( f, dQn) = 0.
>
> ----- Fin de ce que j'ai pensé à faire -----
>
>
> Voilà, je suis donc sûr que j'ai faux mais je ne vois pas à quel endroit.
> Si quelqu'un pouvait m'éclairer...
> Merci de votre aide.
> Merci à ceux qui ont eu le courage de lire le message en entier.
> Romain.
>
>
int[dz/(z - i*b) - dz/(z + i*b)]
ce qui donne une différence de logarithmes, et il me semble bien qu'on
trouve que ça tend vers 0 pour n tend vers l'infini.
A.J.
"Romain M" a écrit dans le message de news:
41c70b0b$0$26552$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour,
> je bloque sur un petit point de l'exo suivant.
>
>
> ----- Enoncé -----
>
> On définit, pour tout entier naturel n, le carré Qn dans le plan complexe
> par Qn = {z = x+i*y, avec |x| =
> 1°) Montrer qu'il existe M > 0 tel que pour tout n dans lN et pour tout z
> appartenant au bord du carré :
> |cotan(Pi*z)| =
> 2°) On considère la fonction
> f(z) = Pi*cotan(Pi*z) / (z^2+b^2)
> où b est un élèment de lR+*.
> a) Déterminer les points singuliers de f et le résidu de f en chacun de
> ces
> points.
> b) Montrer que l'intégrale de f sur le bord du carré dQn tends vers 0
> quand
> n tends vers l'infini.
> c) En déduire la somme de la série :
> sigma( 1/(n²+b²), n=1..infty).
>
> ----- Fin de l'énoncé -----
>
>
>
> ----- Ce que j'ai su faire -----
>
> 1°) Pas de problème, on s'en sort bien avec les formules cos(a+b)=etc., et
> je trouve que la valeur M = ch(Pi/2) / sh(Pi/2) = coth(Pi/2) convient.
>
> 2°)
> a) Les points singuliers sont tous des pôles ici, et comme b > 0, ces
> pôles
> sont tous simples et sont exactement :
> b*i, -b*i, et tous les élèments de Z.
> Valeurs des résidus en ces points (j'ai vérifié avec Maple) :
> pour tout entier k relatif,
> Rés(f, k) = 1 / (b²+k²)
> pour i*b et -i*b,
> Res(f, +ou- i*b) = - Pi / (2*b) * coth(b*Pi).
>
> b) Là je bloque.
>
> c) Théorèmé des résidus, en citant bien les hypothèses, appliqué pour n
> fixé
> :
> l'intégrale de f sur dQn = 2*i*Pi*[ Sigma Rés(z_k(n)) ]
> où les z_k(n) sont les pôles de f contenus dans le carré (ils sont en
> nombre
> fini)
> Donc, quand n -> infty,
> intégrale de f sur dQn tends vers 0, et donc :
> 0 = 2i*Pi*(sommes de tous les résidus)
> et on obtient si je me suis pas trop trompé :
> sigma( 1/(n²+b²), n=1..infty)
> = Pi/4*coth(b*Pi) - 1/(2*b²).
> (joli résultat au passage !)
>
> ----- Fin de ce que j'ai su faire -----
>
>
>
> Pour la question 2.b),
> il est fort possible que le résultat de la question 1) nous serve ici,
> puisqu'il ne sert pour aucune autre question !!
>
> ----- Ce que j'ai essayé de faire pour 2.b) -----
> ----- Et pourquoi ça bug -----
>
> pour tout n entier naturel et pour tout z sur le bord du carré,
> |cotan(Pi*z)| = donc | f(z) | = et on majore ainsi l'intégrale :
> | int(f, dQn) | = = Pour calculer int( dz / |z²+b²|, dQn), j'ai d'abord essayé de paramétrer
> le
> chemin "en 4 fois" et de faire des gros calculs, et j'ai vite abandonné,
> en
> remarquant simplement que :
> comme dQn est symétrique par rapport à O,
> on peut paramétrer le chemin par :
> t \in [0,2] -> gamma(t)
> telle que pour t dans [0,1], gamma(t+1) = exp(i*Pi) * gamme(t),
> soit gamma(t+1) = - gamma(t) (*)
> L'intégrale qu'on cherche vaut :
> int ( gamma'(t) / [gamma(t)² + b²] , t = 0..1)
> + int ( même chose, t = 1..2)
> En faisant un changement de variable u = t-1 dans la deuxième intégrale et
> en utilisant (*), on obtient :
> int ( gamma'(t) / [gamma(t)² + b²] dt , t = 0..1)
> + int ( -gamma'(u) / [gamma(u)² + b²] du , u = 0..1),
> ce qui fait : 0.
>
> Je résume :
> int( f, dQn) = 0.
> Et dans l'énoncé on demande :
> int( f, dQn) -> 0 quand n tend vers infty.
> Evidément ce que je trouve ne contredit pas l'énoncé, mais si c'était
> vrai,
> l'énoncé demanderait ce que je trouve, qui est plus précis...
> Un argument plus sérieux :
> par exemple, pour n = 0 et b assez grand (pour que i*b soit à l'extérieur
> du
> carré, par exemple b=1) :
> int( f, dQn) = 2*i*Pi
> d'apres la formule des résidus, car Qn contient un seul pôle : 0, et son
> résidu vaut 1/b² = 1 dans mon cas particulier.
> Donc je ne trouve pas int( f, dQn) = 0.
>
> ----- Fin de ce que j'ai pensé à faire -----
>
>
> Voilà, je suis donc sûr que j'ai faux mais je ne vois pas à quel endroit.
> Si quelqu'un pouvait m'éclairer...
> Merci de votre aide.
> Merci à ceux qui ont eu le courage de lire le message en entier.
> Romain.
>
>
Re: intégrale curviligne, résidus, etc.
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:06
> Au § 2.b, pour calculer int[dz/(z^2 + b^2)], on peut décomposer en :
> int[dz/(z - i*b) - dz/(z + i*b)]
> ce qui donne une différence de logarithmes, et il me semble bien qu'on
> trouve que ça tend vers 0 pour n tend vers l'infini.
Il y a un module... int[dz / |z² + b²|].
Je veux bien écrire :
int[dz / |z² + b²|]
=< 1/2 * int[dz / |z+i*b|] + 1/2 * int[dz / |z-i*b|]
mais après ?
> int[dz/(z - i*b) - dz/(z + i*b)]
> ce qui donne une différence de logarithmes, et il me semble bien qu'on
> trouve que ça tend vers 0 pour n tend vers l'infini.
Il y a un module... int[dz / |z² + b²|].
Je veux bien écrire :
int[dz / |z² + b²|]
=< 1/2 * int[dz / |z+i*b|] + 1/2 * int[dz / |z-i*b|]
mais après ?
Re: intégrale curviligne, résidus, etc.
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:06
"Romain M" a écrit dans le message de news:
41c95712$0$2214$636a15ce@news.free.fr...[color=green]
>> Au § 2.b, pour calculer int[dz/(z^2 + b^2)], on peut décomposer en :
>> int[dz/(z - i*b) - dz/(z + i*b)]
>> ce qui donne une différence de logarithmes, et il me semble bien qu'on
>> trouve que ça tend vers 0 pour n tend vers l'infini.
>
> Il y a un module... int[dz / |z² + b²|].[/color]
c'est le module de l'intégrale qui doit tendre vers 0
donc : |int[dz/(z - i*b) - dz/(z + i*b)]|
soit :
|ln((z - i*b)/(z + i*b))|
A.J.
> Je veux bien écrire :
> int[dz / |z² + b²|]
> = mais après ?
41c95712$0$2214$636a15ce@news.free.fr...[color=green]
>> Au § 2.b, pour calculer int[dz/(z^2 + b^2)], on peut décomposer en :
>> int[dz/(z - i*b) - dz/(z + i*b)]
>> ce qui donne une différence de logarithmes, et il me semble bien qu'on
>> trouve que ça tend vers 0 pour n tend vers l'infini.
>
> Il y a un module... int[dz / |z² + b²|].[/color]
c'est le module de l'intégrale qui doit tendre vers 0
donc : |int[dz/(z - i*b) - dz/(z + i*b)]|
soit :
|ln((z - i*b)/(z + i*b))|
A.J.
> Je veux bien écrire :
> int[dz / |z² + b²|]
> = mais après ?
Re: intégrale curviligne, résidus, etc.
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:06
> c'est le module de l'intégrale qui doit tendre vers 0
> donc : |int[dz/(z - i*b) - dz/(z + i*b)]|
> soit :
> |ln((z - i*b)/(z + i*b))|
>
Ce que je veux c'est int( f(z)dz sur dQn ) -> 0.
et je connais une majoration de cotan(Pi*z) sur dQn.
Donc j'ai :
| int( f(z)dz sur dQn ) |
==
n+1/2, donc |z²+b²| >= (n+1/2)²,
d'où :
int ( Pi*M / |z²+b²| sur dQn )
= 0 quand n-> infty.
Merci pour ton aide.
> donc : |int[dz/(z - i*b) - dz/(z + i*b)]|
> soit :
> |ln((z - i*b)/(z + i*b))|
>
Ce que je veux c'est int( f(z)dz sur dQn ) -> 0.
et je connais une majoration de cotan(Pi*z) sur dQn.
Donc j'ai :
| int( f(z)dz sur dQn ) |
==
n+1/2, donc |z²+b²| >= (n+1/2)²,
d'où :
int ( Pi*M / |z²+b²| sur dQn )
= 0 quand n-> infty.
Merci pour ton aide.
Re: intégrale curviligne, résidus, etc.
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:06
> | int(f, dQn) | =< int( | f |, dQn)
En fait j'ai un doute...
On a vraiment le droit de faire cette majoration ?
En fait j'ai un doute...
On a vraiment le droit de faire cette majoration ?
Re: intégrale curviligne, résidus, etc.
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:06
"Romain M" a écrit dans le message de news:
41c9bdbd$0$20358$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
> > | int(f, dQn) | =
> En fait j'ai un doute...
> On a vraiment le droit de faire cette majoration ?
>
>
Je crois que non.
Le nombre de droite n'est même pas un réel en général.
Bon au moins je ne la ferai plus cette erreur.
41c9bdbd$0$20358$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
> > | int(f, dQn) | =
> En fait j'ai un doute...
> On a vraiment le droit de faire cette majoration ?
>
>
Je crois que non.
Le nombre de droite n'est même pas un réel en général.
Bon au moins je ne la ferai plus cette erreur.
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