Bon je vous mets l'exo en gros, mais je sèche sur la recherche de la
forme de Killing en fait...
On me donne les groupes:
SL(n,R) (de déterminant 1)
O(n,R) (dont l'inverse vaut la transposée)
et Sp(2n,R) (qui préservent matrice symplectique fondamentale (omega),
càd "transposee(X) Omega X = Omega")
Ce sont des groupes de Lie (ces groupes sont fermés dans le groupe de
Lie GL(n,R), ça suffit),
Leur dimension me semble-t-il, est, dans l'ordre
n^2 - 1
n*(n-1)/2
et n*(n+1)/2
Maintenant je cherche la forme de Killing de leurs algèbre de Lie. Alors
dans l'ordre, l'algèbre de:
SL(n,R) est sl(n,R), les matrices de trace nulle. C'est un idéal dans
l'ensemble des matrices, donc la forme de Killing est la restriction de
la forme sur l'ensemble des matrices, donc on tombe sur 2*n*Tr(X Y)
O(n,R) est o(n,R), les matrices antisymétriques. Alors là on n'a plus un
idéal, et du coup je suis bloqué. Faut il que je trouve une base pour
les matrices orthogonales pour trouver la forme de Killing ? Help !!
Pour Sp(2n,R) on tombe sur l'algèbre sp(2n,R), qui sont des matrices X
telles que X^t * Omega + Omega * X = 0, où ^t désigne la transposée et
Omega la matrice simplectique fondamentale. Pareil, je suppose qu'on n'a
pas un idéal, donc je fais comment? Help !!
)Après je dois trouver l'application "exponentielle" dans chaque cas,
montrer que O(2n,R) est isomorphe à qqch, O(2n+1,R) isomorphe à autre
chose, puis on me définit A_n B_n C_n et D_n comme étant certaines
algèbres, et je dois voir que les matrices diagonales sont une sous
algèbre égale à son normalisateur à chaque fois... bon ça j'espère que
j'arriverai à faire... Le pb c'est que ça fait depuis vendredi que je
suis sur cet exo et au lieu d'avancer, je reste bloquer sur chaque
détail. Je crois que je vais passer à autre chose, un peu... se libérer
l'esprit !
Merci d'avance
)--
Nico.