[MP] orde des lois dans les algèbres

[Anonyme]

Bonjour à tous,

Voici mon problème : en sup, j'ai vu que (A,+, . ,o) est une algèbre si
(entre autre) (A,+, . ) est un anneau et (A,+,o) un espace vectoriel. ma
question porte sur les lois "." et "o" donc ne tenez pas compte de mon
manque de rigueur pour le autres détails...

Cette année, dans l'introduction des polynômes endomorphismes, mon prof a
écrit que (K[f],+, . ,o) est une sous-algèbre commutative de (L(E),+, . ,o).
Ceci voudrait dire que (L(E),+, . ) est un anneau et (L(E),+,o) un espace
vectoriel, d'après les définitions de sup. Or, en sup., nous avons vu que
(L(E),+, . ) est un espace vectoriel, et (L(E),+,o) un anneau. il n'y aurait
pas un couic quelque part? je précise que j'ai vérifié les définitions de
sup. sur un site très complet, auquel je fais confiance.
(http://www.les-mathematiques.net/) .

Voila mon petit problème du jour, mais je suis certain que vous m'éclairerez
en peu de temps!!

Merci d'avance.

[Anonyme]

Je ne comprends pas vraiment tes notations, mais je vais t'exposer mon
point de vue :

Définition: Soit k un anneau. Une k-algèbre est la donnée d'un anneau A
et d'un homomorphisme d'anneau f: k ----> A. On dit alors (légèrement
abusivement) que A est une k-algèbre.

Remarque: souvent k est un corps. Il est rassurant, et légèrement plus
facile de considérer que k est un corps. Mais considérer k comme un
anneau est tout à fait légitime.

Donc une algèbre, c'est un anneau. Avant tout. On peut donc additionner
(commutativement) deux éléments de A. On peut aussi les multiplier (pas
forcément commutativement).

L'intérêt d'avoir une k-algèbre, est de pouvoir, à travers
l'homomorphisme f, de considérer les éléments de k comme des éléments de A.

On écrit généralement, pour lambda dans k et x dans A,

lambda . x pour f(lambda).x

Lorsque k est un corps, cela permet effectivement de définir une
structure d'espace vectoriel.

Par exemple, lorsque k est un corps, k[X] est une k-algèbre. On
identifie le corps k aux polynômes constants.

Autre exemple. Tout anneau A est une Z-algèbre (Z étant l'anneau des
entiers relatifs). On identifie 0 (dans Z) à 0 (dans A), 1 à 1, 2 à 1+1,
...., n à 1+1+...+1 (n fois). Mais il est possible que 1+1+...+1=0.
(Penser à l'anneau Z/2Z, où 1+1=0).

Dans notre cas, on a un k-espace vectoriel E. Les endomorphismes de E
(i.e. les applications k-linéaires de E dans E) forment un anneau, la
multiplication étant la loi o de composition des applications. Notons
L(E) cet anneau.

C'est une k-algèbre, car on identifie les éléments z de k à
l'application k-linéaire
E -----> E
x -----> z.x

Quand on a un endomorphisme f de E, il y a un homomorphisme d'anneau
k[X] -----> L(E)
P(X) -----> P(f)
Cela munit L(E) d'une structure de k[X]-algèbre.

Mais il est possible que P(f)=0 (prendre par exemple le polynôme
caractéristique, ou le polynôme minimal de f)

L'image de k[X] dans L(E) est la k-algèbre engendrée par f. On la note
k[f]. De la même manière que L(E) est une k[X]-algèbre, c'est aussi une
k[f]-algèbre.

En résumant, on a les homomorphismes d'anneaux

k -----> k[f] ------> L(E)

k[f] est une k-algèbre. L(E) est une k[f]-algèbre, et aussi une k-algèbre.

Maintenant, je commente ton texte :

ultrawave wrote:
> Bonjour à tous,
>
> Voici mon problème : en sup, j'ai vu que (A,+, . ,o) est une algèbre si
> (entre autre) (A,+, . ) est un anneau et (A,+,o) un espace vectoriel. ma
> question porte sur les lois "." et "o" donc ne tenez pas compte de mon
> manque de rigueur pour le autres détails...

Il me semble que (A,+, . ,o) est une k-algèbre si (entre autre)
(A,+) est un groupe commutatif
(A,+, . ) est un anneau
(A,+, o ) est un k-espace vectoriel.

Donc, quand on a z dans k et x dans A, on peut multiplier x par le
scalaire z. Ce qu'on note alors z o x

> Cette année, dans l'introduction des polynômes endomorphismes, mon prof a
> écrit que (K[f],+, . ,o) est une sous-algèbre commutative de (L(E),+, . ,o).

Ces notations ne sont sûrement pas compatible avec ta définition de sup.
Je pense qu'il faudrait plutôt écrire (K[f],+,o, . ) et (L(E),+,o, . ).

En effet (L(E),+,o) est un anneau. o désigne ici la loi de composition
des applications.

f o g (x) = f(g(x))

On a bien un anneau car fo(g+h) est l'application de E dans E qui à x
associe f((g+h)(x))=f(g(x)+h(x))=f(g(x))+f(h(x))=fog(x)+foh(x). Donc
fo(g+h)=fog+foh (distributivité). La relation (f+g)oh=foh+goh est
similaire. Je passe sous silence les autres conditions pour être un anneau.

La loi de k-espace vectoriel est donné par (z.f)(x)=z.(f(x)).

En ce qui concerne k[f], k-sous-algèbre de L(E) engendrée par f, la
description des lois est similaire.

> Ceci voudrait dire que (L(E),+, . ) est un anneau et (L(E),+,o) un espace
> vectoriel, d'après les définitions de sup. Or, en sup., nous avons vu que
> (L(E),+, . ) est un espace vectoriel, et (L(E),+,o) un anneau. il n'y aurait
> pas un couic quelque part? je précise que j'ai vérifié les définitions de
> sup. sur un site très complet, auquel je fais confiance.
> (http://www.les-mathematiques.net/) .

Les notations sont rarement universelles. Je ne remets en cause ni celle
de sup, ni celle de http://www.les-mathematiques.net. Mais dans des définitions
telles que celles-ci, l'ordre des symboles est rapidement permuté.

Ce qui est important, c'est de comprendre ce qu'est une k-algèbre, i.e.
un anneau ayant en son sein des éléments (ceux associés à k) qui forment
un sous-corps (par exemple). La k-algèbre est alors naturellement un
espace vectoriel.

> Voila mon petit problème du jour, mais je suis certain que vous m'éclairerez
> en peu de temps!!
>
> Merci d'avance.
>
>

J'espère que cela t'aidera.

Guillaume Yziquel

[Anonyme]

ultrawave a exposé le 14/02/05 :
> Voici mon problème : en sup, j'ai vu que (A,+, . ,o) est une algèbre si
> (entre autre) (A,+, . ) est un anneau et (A,+,o) un espace vectoriel.
> [etc.]

Personnellement je préfère écrire d'abord les deux lois internes, puis
la loi externe.
Ce qui donne (A, +, o, .) avec tes notations de lois.
J'ignore quel est le bon ordre. J'ignore même s'il y a un bon ordre.
L'important est de savoir de quoi on parle.
Dans un concours, un correcteur ne t'enlèvera pas de points parce que
tu as noté les lois dans un ordre différent de celui auquel il est
habitué.

[Anonyme]

Je ne te cache pas que le début de ton explication ne m'éclaire pas
beaucoup... J'ai pas passé beaucoup de temps sur ces notions. A vrai dire je
n'ai jamais parlé d'homomorphismes... Mais dans la deuxième partie, j'ai eu
ma réponse : l'ordre des lois importe peu. Merci!
"Guillaume Yziquel" a écrit dans le message de
news: 4211158b$0$20007$636a15ce@news.free.fr...
> Je ne comprends pas vraiment tes notations, mais je vais t'exposer mon
> point de vue :
>
> Définition: Soit k un anneau. Une k-algèbre est la donnée d'un anneau A
> et d'un homomorphisme d'anneau f: k ----> A. On dit alors (légèrement
> abusivement) que A est une k-algèbre.
>
> Remarque: souvent k est un corps. Il est rassurant, et légèrement plus
> facile de considérer que k est un corps. Mais considérer k comme un
> anneau est tout à fait légitime.
>
> Donc une algèbre, c'est un anneau. Avant tout. On peut donc additionner
> (commutativement) deux éléments de A. On peut aussi les multiplier (pas
> forcément commutativement).
>
> L'intérêt d'avoir une k-algèbre, est de pouvoir, à travers
> l'homomorphisme f, de considérer les éléments de k comme des éléments de
> A.
>
> On écrit généralement, pour lambda dans k et x dans A,
>
> lambda . x pour f(lambda).x
>
> Lorsque k est un corps, cela permet effectivement de définir une
> structure d'espace vectoriel.
>
> Par exemple, lorsque k est un corps, k[X] est une k-algèbre. On
> identifie le corps k aux polynômes constants.
>
> Autre exemple. Tout anneau A est une Z-algèbre (Z étant l'anneau des
> entiers relatifs). On identifie 0 (dans Z) à 0 (dans A), 1 à 1, 2 à 1+1,
> ..., n à 1+1+...+1 (n fois). Mais il est possible que 1+1+...+1=0.
> (Penser à l'anneau Z/2Z, où 1+1=0).
>
> Dans notre cas, on a un k-espace vectoriel E. Les endomorphismes de E
> (i.e. les applications k-linéaires de E dans E) forment un anneau, la
> multiplication étant la loi o de composition des applications. Notons
> L(E) cet anneau.
>
> C'est une k-algèbre, car on identifie les éléments z de k à
> l'application k-linéaire
> E -----> E
> x -----> z.x
>
> Quand on a un endomorphisme f de E, il y a un homomorphisme d'anneau
> k[X] -----> L(E)
> P(X) -----> P(f)
> Cela munit L(E) d'une structure de k[X]-algèbre.
>
> Mais il est possible que P(f)=0 (prendre par exemple le polynôme
> caractéristique, ou le polynôme minimal de f)
>
> L'image de k[X] dans L(E) est la k-algèbre engendrée par f. On la note
> k[f]. De la même manière que L(E) est une k[X]-algèbre, c'est aussi une
> k[f]-algèbre.
>
> En résumant, on a les homomorphismes d'anneaux
>
> k -----> k[f] ------> L(E)
>
> k[f] est une k-algèbre. L(E) est une k[f]-algèbre, et aussi une k-algèbre.
>
> Maintenant, je commente ton texte :
>
> ultrawave wrote:[color=green]
>> Bonjour à tous,
>>
>> Voici mon problème : en sup, j'ai vu que (A,+, . ,o) est une algèbre si
>> (entre autre) (A,+, . ) est un anneau et (A,+,o) un espace vectoriel. ma
>> question porte sur les lois "." et "o" donc ne tenez pas compte de mon
>> manque de rigueur pour le autres détails...
>
> Il me semble que (A,+, . ,o) est une k-algèbre si (entre autre)
> (A,+) est un groupe commutatif
> (A,+, . ) est un anneau
> (A,+, o ) est un k-espace vectoriel.
>
> Donc, quand on a z dans k et x dans A, on peut multiplier x par le
> scalaire z. Ce qu'on note alors z o x
>
>> Cette année, dans l'introduction des polynômes endomorphismes, mon prof a
>> écrit que (K[f],+, . ,o) est une sous-algèbre commutative de (L(E),+, .
>> ,o).
>
> Ces notations ne sont sûrement pas compatible avec ta définition de sup.
> Je pense qu'il faudrait plutôt écrire (K[f],+,o, . ) et (L(E),+,o, . ).
>
> En effet (L(E),+,o) est un anneau. o désigne ici la loi de composition
> des applications.
>
> f o g (x) = f(g(x))
>
> On a bien un anneau car fo(g+h) est l'application de E dans E qui à x
> associe f((g+h)(x))=f(g(x)+h(x))=f(g(x))+f(h(x))=fog(x)+foh(x). Donc
> fo(g+h)=fog+foh (distributivité). La relation (f+g)oh=foh+goh est
> similaire. Je passe sous silence les autres conditions pour être un
> anneau.
>
> La loi de k-espace vectoriel est donné par (z.f)(x)=z.(f(x)).
>
> En ce qui concerne k[f], k-sous-algèbre de L(E) engendrée par f, la
> description des lois est similaire.
>
>> Ceci voudrait dire que (L(E),+, . ) est un anneau et (L(E),+,o) un espace
>> vectoriel, d'après les définitions de sup. Or, en sup., nous avons vu que
>> (L(E),+, . ) est un espace vectoriel, et (L(E),+,o) un anneau. il n'y
>> aurait pas un couic quelque part? je précise que j'ai vérifié les
>> définitions de sup. sur un site très complet, auquel je fais confiance.
>> (http://www.les-mathematiques.net/) .
>
> Les notations sont rarement universelles. Je ne remets en cause ni celle
> de sup, ni celle de http://www.les-mathematiques.net. Mais dans des définitions
> telles que celles-ci, l'ordre des symboles est rapidement permuté.
>
> Ce qui est important, c'est de comprendre ce qu'est une k-algèbre, i.e.
> un anneau ayant en son sein des éléments (ceux associés à k) qui forment
> un sous-corps (par exemple). La k-algèbre est alors naturellement un
> espace vectoriel.
>
>> Voila mon petit problème du jour, mais je suis certain que vous
>> m'éclairerez en peu de temps!!
>>
>> Merci d'avance.
>
> J'espère que cela t'aidera.
>
> Guillaume Yziquel[/color]