Tr. Fourier appartient à L(oo) ?

[Anonyme]

Bonjour,

On montre que la transformée de Fourier d'une fonction est majorée par
l'intégrale sur R de cette fonction (l'hypothèse étant que cette fonction
appartient à L1(R)), donc à une constante.

Cela permet-il de déduire que la tranformée appartient à L(oo) ??

Cela revient à dire qu'en partant de |TF(f)| <= K, on a:
|TF(f)|^n <= K^n

Si on pose I = int(|TF(f)|^n, x=-oo..+oo)

I <= int(K^n, , x=-oo..+oo)
I <=[(K^n)*x, x=-oo..+oo]

Et après ?..

[Anonyme]

"Oodini" a écrit dans le message de news:
3ffeb717$0$1152$636a55ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> On montre que la transformée de Fourier d'une fonction est majorée par
> l'intégrale sur R de cette fonction (l'hypothèse étant que cette fonction
> appartient à L1(R)), donc à une constante.
>
> Cela permet-il de déduire que la tranformée appartient à L(oo) ??
>
> Cela revient à dire qu'en partant de |TF(f)| |TF(f)|^n
> Si on pose I = int(|TF(f)|^n, x=-oo..+oo)
>
> I I
> Et après ?..
>
>

Tu confonds l'hypothèse et la conclusion :
hypothèse : on sait que f est dans L1(R)
Ce qui signifie que int(|f(x)|,x=-inf..+inf)=K<+inf
Montrons que dans ce cas T(f) est dans L^inf(R) :
Soit y dans R
On a T(f)(y)=int(exp(-ixy)f(x),x=-inf..inf)
Donc |T(f)(y)|<=int(|exp(-ixy)f(x)|,x=-inf..inf)=int(|f(x)|,x=-inf..inf)
(car les exponentielles complexes sont de module 1)
Par conséquent |T(f)(y)|<=K
Comme ceci est vrai pour tout y dans R, T(f) est dans L^inf(R), et
||T(f)||_inf<=K=||f||_1, ce qui est la conclusion souhaitée.

[Anonyme]

> > Soit y dans R[color=green]
> > On a T(f)(y)=int(exp(-ixy)f(x),x=-inf..inf)
> > Donc |T(f)(y)| > (car les exponentielles complexes sont de module 1)
> > Par conséquent |T(f)(y)|
> Jusqu'ici, tout va bien...
>[color=green]
> > Comme ceci est vrai pour tout y dans R, T(f) est dans L^inf(R),
>
> Cela explique d'où vient le R dans "L^inf(R)", mais pas d'où vient[/color]
l'infini,
> ce qui m'intéresse plus particulièrement.
>
> Nous avions vu dans une conversation précédente qu'il ne suffit pas qu'une
> fonction soit bornée (dernier résultat trouvé) pour en conclure qu'elle
est
> intégrable.
> Si j'intègre une constante sur R, j'obtiens quelque chose comme [K*x],
> x=-oo..+oo,
> ce qui nous donne 0, NOn ? Et ce quel que soit l'exposant appliqué à K.
> Mais ce résultat ne me satisfait pas, et à mon avis, je me fourvoie sur
une
> mauvaise voie...

Non, ça ne donne pas vraiment 0..., ça donne l'infini (sauf si K=0)

L^inf(R) désigne l'ensemble des fonctions bornées de R dans R, ou, si l'on
peut s'exprimer ainsi, c'est l'ensemble des fonctions de R dans R dont la
norme infinie est finie
On a pour tout y, |T(f)(y)|<=K, donc T(f) est bornée, par conséquent T(f)
est dans L^inf

Pour ce qui est de l'appellation norme infinie (et l'espace L^inf), je pense
qu'elle vient du fait que si une fonction f est bornée sur [a,b], alors la
norme p de f (définie par ||f||_p=[int(f(x)^p,x=a..b]^(1/p) ) tend vers sup
|f| quand p tend vers +inf. Ce sup est appelé la norme infinie de f

Remarque : l'espace L^inf n'est pas défini à l'aide des intégrales,
contrairement aux autres L^p (1<=p<+inf), c'est peut-être ce qui t'induit en
erreur

[Anonyme]

> > Si j'intègre une constante sur R, j'obtiens quelque chose comme [K*x],[color=green]
> > x=-oo..+oo,
> > ce qui nous donne 0, NOn ? Et ce quel que soit l'exposant appliqué à K.
> > Mais ce résultat ne me satisfait pas, et à mon avis, je me fourvoie sur
> > une mauvaise voie...
>
> Non, ça ne donne pas vraiment 0..., ça donne l'infini (sauf si K=0)[/color]

En ce cas, ce n'est pas sommable...

> L^inf(R) désigne l'ensemble des fonctions bornées de R dans R, ou, si l'on
> peut s'exprimer ainsi, c'est l'ensemble des fonctions de R dans R dont la
> norme infinie est finie
> On a pour tout y, |T(f)(y)| est dans L^inf

Oui, mais là, tu conclus en fonction de la définition que tu viens de donner
(avec les fonctions bornées). Moi, j'aimerais conclure par le calcul de
l'intégrale.
Je veux faire le neuneu qui ne connait pas son cours et qui veux se taper
l'intégrale.

> Pour ce qui est de l'appellation norme infinie (et l'espace L^inf), je
pense
> qu'elle vient du fait que si une fonction f est bornée sur [a,b], alors la
> norme p de f (définie par ||f||_p=[int(f(x)^p,x=a..b]^(1/p) ) tend vers
sup
> |f| quand p tend vers +inf. Ce sup est appelé la norme infinie de f

Oui, j'avais compris ça également ça avec les normes vectorielles.
Il paraît logique que si tu élèves chaque composante à une puissance
infinie, la plus grande composante va l'emporter devant toute les autres, et
tu te retrouves avec le max.

> Remarque : l'espace L^inf n'est pas défini à l'aide des intégrales,
> contrairement aux autres L^p (1 erreur

Ah oui ? C'est défini uniquement par le fait que la fonction est bornée ?

[Anonyme]

> > Remarque : l'espace L^inf n'est pas défini à l'aide des intégrales,[color=green]
> > contrairement aux autres L^p (1 en[color=green]
> > erreur
>
> Ah oui ? C'est défini uniquement par le fait que la fonction est bornée ?
>
>[/color]
Oui : L^inf est l'ensemble des fonctions bornées (sauf éventuellement sur un
ensemble de mesure nulle)