Fonction

[Anonyme]

voici l'énoncé qui me pose probleme

soit f dérivable sur R+ tq

f + f ' admette une limite réelle en +oo
Montrer que f tend vers cette limite en +oo
Réciproque

voila je n'arrive pas a résoudre ce probleme

[Anonyme]

"Gauss" a écrit dans le message de news:
41a0b928$0$8215$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> voici l'énoncé qui me pose probleme
>
> soit f dérivable sur R+ tq
>
> f + f ' admette une limite réelle en +oo
> Montrer que f tend vers cette limite en +oo
> Réciproque
>
> voila je n'arrive pas a résoudre ce probleme
>
Il faut utiliser la variation de la constante (je suppose que cet exercice
intervient dans le chapitre sur les équadifs)

Pose g=f+f '
Alors f est solution de l'équadif f+f '=g
Exprime f sous forme intégrale en fonction de g et de f(0) avec la variation
de la constante

Puis utilise le fait que g admet une limite l en +inf pour montrer que le
terme intégral tend vers l

[Anonyme]

non justement je ne peux pas utiliser cette méthode car c'est dans le
chapitre dérivée limite conitnuité
c est pour ça que je préfererai une explication utilisant cette partie du
cours
"FDH" a écrit dans le message de news:
41a0be53$0$31624$626a14ce@news.free.fr...
>
> "Gauss" a écrit dans le message de news:
> 41a0b928$0$8215$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> voici l'énoncé qui me pose probleme
>>
>> soit f dérivable sur R+ tq
>>
>> f + f ' admette une limite réelle en +oo
>> Montrer que f tend vers cette limite en +oo
>> Réciproque
>>
>> voila je n'arrive pas a résoudre ce probleme
>>
> Il faut utiliser la variation de la constante (je suppose que cet exercice
> intervient dans le chapitre sur les équadifs)
>
> Pose g=f+f '
> Alors f est solution de l'équadif f+f '=g
> Exprime f sous forme intégrale en fonction de g et de f(0) avec la
> variation de la constante
>
> Puis utilise le fait que g admet une limite l en +inf pour montrer que le
> terme intégral tend vers l
>[/color]

[Anonyme]

Gauss a écrit:
> voici l'énoncé qui me pose probleme
>
> soit f dérivable sur R+ tq
>
> f + f ' admette une limite réelle en +oo
> Montrer que f tend vers cette limite en +oo
> Réciproque
>
> voila je n'arrive pas a résoudre ce probleme
>
>


La réciproque est fausse : soit f(x) = sin(x^2)/x. f tend vers 0 en +oo.
f'(x) = 2*cos(x^2) - sin(x^2)/x^2 -> 2*cos(x^2) en l'infini. Il est
clair que f+f' n'admet pas de limite en +oo.

--
albert

[Anonyme]

Salut,


C'est un classique ! regarde e^t*(f(t)+f'(t))


Gauss a écrit:
> voici l'énoncé qui me pose probleme
>
> soit f dérivable sur R+ tq
>
> f + f ' admette une limite réelle en +oo
> Montrer que f tend vers cette limite en +oo
> Réciproque
>
> voila je n'arrive pas a résoudre ce probleme
>
>

[Anonyme]

"tutu" a écrit dans le message de news:
41A0CFB7.8060400@math.net...
> Salut,
>
>
> C'est un classique ! regarde e^t*(f(t)+f'(t))
>
>
> Gauss a écrit:[color=green]
>> voici l'énoncé qui me pose probleme
>>
>> soit f dérivable sur R+ tq
>>
>> f + f ' admette une limite réelle en +oo
>> Montrer que f tend vers cette limite en +oo
>> Réciproque
>>
>> voila je n'arrive pas a résoudre ce probleme la réciproque j'ai bien
>> compris qu'elle etait fausse ce qui m'interesse surtout c'est comment
>> monter le sens direct
>[/color]

[Anonyme]

"Gauss" a écrit dans le message de news:
41a0b928$0$8215$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> voici l'énoncé qui me pose probleme
>
> soit f dérivable sur R+ tq
>
> f + f ' admette une limite réelle en +oo
> Montrer que f tend vers cette limite en +oo

Commençons par simplifier (légèrement) le problème en posant g = f-l, avec l
la limite de f+f' en infty.
On est ramené à montrer que g -> 0 en infty.

g+g' = f-l+f' -> 0 par hypothèse en infty.
Ecrivons ceci avec la définition de la limite :
Soit epsilon>0.
Il existe x0 positif tel que :
pour tout x dans [x0, infty[,
|g(x)+g'(x)| =g(x)*exp(x).
pour tout x >= x0,
|(d/dx)(g(x)*exp(x))| == x0,
pour tout t dans [x0,x],
|(d/dt)(g(t)*exp(t))| == x0,
|g(x)| 0, il existe x2>0 (on prends par exemple x2=x0+x1 ou
x2=max({x0,x1})) tel que
pour tout x dans [x2, infty[, |g(x)| <= 2*epsilon.

[Anonyme]

"Romain M" a écrit dans le message de news:
41a0d89e$0$11084$636a15ce@news.free.fr...
> "Gauss" a écrit dans le message de news:
> 41a0b928$0$8215$8fcfb975@news.wanadoo.fr...[color=green]
>> voici l'énoncé qui me pose probleme
>>
>> soit f dérivable sur R+ tq
>>
>> f + f ' admette une limite réelle en +oo
>> Montrer que f tend vers cette limite en +oo
>
> Commençons par simplifier (légèrement) le problème en posant g = f-l, avec
> l
> la limite de f+f' en infty.
> On est ramené à montrer que g -> 0 en infty.
>
> g+g' = f-l+f' -> 0 par hypothèse en infty.
> Ecrivons ceci avec la définition de la limite :
> Soit epsilon>0.
> Il existe x0 positif tel que :
> pour tout x dans [x0, infty[,
> |g(x)+g'(x)| = donc |(g(x)+g'(x))*exp(x)| = C'est ici qu'est la principale astuce :
> en multipliant par exp(x), je fais apparaître la dérivée de
> x->g(x)*exp(x).
> pour tout x >= x0,
> |(d/dx)(g(x)*exp(x))| = Cette inégalité nous donne envie d'utiliser l'inégalité des accroissements
> finis.
> Pour tout x >= x0,
> pour tout t dans [x0,x],
> |(d/dt)(g(t)*exp(t))| = En citant bien correctement les hypothèses du cours; on en déduit :
> |g(x)exp(x)-g(x0)exp(x0)| l'inégalité triangulaire + multiplier des deux côtés par exp(-x), ca donne
> :
> pour tout x >= x0,
> |g(x)| le terme de droite tend vers 0, donc est rang x1.
> Conclusion :
> pour tout epsilon>0, il existe x2>0 (on prends par exemple x2=x0+x1 ou
> x2=max({x0,x1})) tel que
> pour tout x dans [x2, infty[, |g(x)|
>*[/color]
*
merci beaucoup pour votre aide une fois de plus ce forum a fait preuve
d'efficacité !!

[Anonyme]

>
> soit f dérivable sur R+ tq
>
> f + f ' admette une limite réelle en +oo
> Montrer que f tend vers cette limite en +oo

Une approche moins performante mais sans équation différentielle ni
exponentielle
"Just for fun"

1) comme le dit Romain M, on peut considérer sans restriction que f + f'
tend vers 0.

2) si f a une limite en +infini, ce ne peut être que 0 :
en effet , si f tend vers a, alors f' tend vers -a
Taylor nous dit : f(x+1) = f(x) + f'(x_c) pour un x_c dans [x, x+1]
en faisant tendre x vers l'infini dans cette égalité, on a a = a - a et
donc a = 0
CQFD

3) Soit e > 0 (e pour "epsilon"). Il existe x_0 tq x > x_0 ==> |f+f'| e.
Quitte à remplacer f par -f, il est possible d'en extraire une suite y_i
croissante tendant vers l'infini et telle que f(y_i) > e.
|f(y_i) + f'(y_i)| e impliquent f'(y_i) e et f'(y_(i+1)) < 0.
f' ne s'annule donc pas sur [y_i, y_(i+1)]
Puisque f'(y_i) < 0 et f'(y_(i+1)) < 0, f est donc monotone décroissante sur
[y_i, y_(i+1)]
donc f est monotone décroissante sur [y_i, +infini[ et supérieure ou égale à
e.
f converge donc, ce qui d'après 2) ne peut être que vers 0.

[Anonyme]

> >[color=green]
> > soit f dérivable sur R+ tq
> >[/color]

> 2) si f a une limite en +infini, ce ne peut être que 0 :
> en effet , si f tend vers a, alors f' tend vers -a
> Taylor nous dit : f(x+1) = f(x) + f'(x_c) pour un x_c dans [x, x+1]

Pour utiliser ce théorème, il me semble que la dérivabilité de f ne suffit
pas...
"Il faut" (il existe peut-être des hypothèses moins contraignantes, mais
dans ce cas je ne connais pas de démonstration des formules de Taylor) que f
soit de classe C1, ou "au pire" C1 par morceaux.