Fonction borelienne

[Anonyme]

Bonjour,

Soit f une fonction de R vers R, monotone.
On veut montrer que f est borelienne.

En revenant à la définition, il suffit de montrer que qqsoit une tribu
borelienne B1 de R, f^(-1)(T) est dans une tribu borelienne B2 de R.
D'abord on montre facilement que les tribus de R sont les intervalles de R.
Il suffit alors de montrer que f^(-1)(un intervalle de R)= un intervalle de R,
en utilisant sa monotonie stricte.

La difficulté pour moi est de se débarasser completement des notions de prepa,
ici l'eventuelle continuité de f n'intervient pas. Comment s'y prendre?

merci

[Anonyme]

Bonsoir

> Bonjour,
>
> Soit f une fonction de R vers R, monotone.
> On veut montrer que f est borelienne.
>
> En revenant à la définition, il suffit de montrer que qqsoit une tribu
> borelienne B1 de R,

Y'en a une seule: la tribu borélienne de R (la plus petite tribu de R
contenant les ouverts de R).

f^(-1)(T) est dans une tribu borelienne B2 de R.
> D'abord on montre facilement que les tribus de R sont les intervalles de
R.

Non ??

> Il suffit alors de montrer que f^(-1)(un intervalle de R)= un intervalle
de R,

La classe des intervalles ouverts de R engendrent la tribu borélienne (parce
que tout ouvert est réunion dénombrable d'intervalles ouverts), donc il
suffit de vérifier que pour tout intervalle ouvert I de R, f^(-1)(I) est un
borélien (pas nécessairement un intervalle, *a priori*; d'ailleurs, tu peux
voir ce qui se passe avec f(x)=x sur ]-oo,1[, f(1) = 2, et f(x) = x+2
sur ]1,+oo[; f^(-1)(]3/2,5/2[) est un singleton).

> en utilisant sa monotonie stricte.
>
> La difficulté pour moi est de se débarasser completement des notions de
prepa,
> ici l'eventuelle continuité de f n'intervient pas. Comment s'y prendre?
>

En fait, l'éventuelle continuité de f intervient !!
Commence par montrer qu'une fonction monotone admet une limite à gauche et
une limite à droite en tout point. De là, tu pourras montrer qu'une fonction
monotone admet au plus un nombre dénombrable de points de discontinuités (en
fait, une fonction monotone est dérivable presque partout).

Maintenant écris f^(-1)(I) = Un_ensemble_dénombrable U (U A_k) où les A_k
sont des intervalles ouverts (la réunion pouvant être non dénombrable). Un
ensemble dénombrable étant borélien, et une réunion d'intervalles ouverts
l'étant aussi, f^(-1)(I) est un borélien.

@+

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Julien Santini