Fonction affine au voisinage de 0

[Anonyme]

Bonjour,
J'ai un petit exercie que je n'arrive pas a faire voici l'énoncé :
soit la fonction f(x) = x^3 - x² + 2
1) a l'aide d'une calculatrice déterminer f(1.01) et f(1.0001)
2) Calculer a la main ces deux nombres en développant (1 + 10^-2 ) ^3 et (1
+ 10^-2)² et (1 + 10^-4 )^3 et (1 + 10^-4 )² et comparer avec les nombres
obtenus a la question 1
3) en ecrivant 1.01 sous forme 1 + h calculer f(1) + A h où A=f ' (1)
Quelle erreur commet-on en prennant f(1) + f ' (1) h pour valeur aprochée de
f(1+h) = f(1.01)

j'ai fait la question 1 et 2 sans probleme mais je bloque sur la 3eme
pouvez-vous m'aider?
merci d'avance
dido0

[Anonyme]

"dido0" a écrit dans le message de news:
41adb6c9$0$8092$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> Bonjour,
> J'ai un petit exercie que je n'arrive pas a faire voici l'énoncé :
> soit la fonction f(x) = x^3 - x² + 2
> 1) a l'aide d'une calculatrice déterminer f(1.01) et f(1.0001)
> 2) Calculer a la main ces deux nombres en développant (1 + 10^-2 ) ^3 et
> (1
> + 10^-2)² et (1 + 10^-4 )^3 et (1 + 10^-4 )² et comparer avec les nombres
> obtenus a la question 1
> 3) en ecrivant 1.01 sous forme 1 + h calculer f(1) + A h où A=f ' (1)
> Quelle erreur commet-on en prennant f(1) + f ' (1) h pour valeur aprochée
> de
> f(1+h) = f(1.01)

> j'ai fait la question 1 et 2 sans probleme mais je bloque sur la 3eme

1.01=1+0.01 donc h=...
Il reste à calculer f ' (1) et d'en déduire f(1) + f ' (1) h.
On calcule alors la différence entre f(1+h) et f(1) + f ' (1) h qui en est
une approximation : il s'agit de l'erreur commise en remplaçant la valeur
exacte par une de ses valeurs approchées.

[Anonyme]

moi je trouve cela :
f(1+h) = (1+h)^3 - (1+h)² + 2
= 1 + 3h + 3h² + h^3 - 1 - 2h - h² + 2
= h^3 + 2h² + h + 2
= f(1) + 1(h) + h(2h + h²)
donc f est derivablen en x=1 et f ' (1) = 1

est-ce cela la reponse?
P.S: la fonction de depart: f(x) = x^3 - x² + 2

[Anonyme]

"dido0" a écrit dans le message de news:
41ade939$0$8129$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> moi je trouve cela :
> f(1+h) = (1+h)^3 - (1+h)² + 2
> = 1 + 3h + 3h² + h^3 - 1 - 2h - h² + 2
> = h^3 + 2h² + h + 2
> = f(1) + 1(h) + h(2h + h²)
> donc f est derivablen en x=1 et f ' (1) = 1
>
> est-ce cela la reponse?

Oui, mais cela ne me parait pas dans l'esprit de l'énoncé. On pouvait aussi
calculer f ' en général et en déduire f '(1) puis f(1) + A h. On ne demande
apparemment pas un calcul pour h quelconque...
Il reste à estimer l'erreur dont parle l'énoncé : par la méthode que tu as
utilisée, elle apparait directement.

[Anonyme]

ensuite je trouve sa c'est peut-etre mieux :
1.01 = h+ 1 donc h = 0.01
f(1) + f ' ( 1) * h
= 2 + ( 1 * 0.01 )
= 2.01

dans le 1) je trouver f(1.01) = 2.010201 donc
l'erreur que l'on fait lorsqu'on prend f(1+h) = f(1.01) c'est que h est
approximatif donc on a un resulat approché

je pense que c'est cela donne moi ton opinion
( merci deja pour ske tu ma aider a avancer)

[Anonyme]

"dido0" a écrit dans le message de news:
41adef50$0$9778$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> ensuite je trouve sa c'est peut-etre mieux :
> 1.01 = h+ 1 donc h = 0.01
> f(1) + f ' ( 1) * h
> = 2 + ( 1 * 0.01 )
> = 2.01
>
> dans le 1) je trouver f(1.01) = 2.010201 donc
> l'erreur que l'on fait lorsqu'on prend f(1+h) = f(1.01) c'est que h est
> approximatif donc on a un resulat approché

h n'est absolument pas approximatif. Mais il faut bien comprendre le sens de
"erreur". Ce terme, en calcul numérique, exprime la différence entre la
valeur exacte et une valeur approchée d'un nombre donné (en valeur absolue,
en général).
Ainsi, ici, l'erreur est égale à | f(1+h) - ( f(1) + f ' ( 1) * h ) |. Pour
h=0.01, on obtient 0.000201.
La plupart du temps, on ne connait pas l'erreur (sinon cela revient à
connaitre la valeur exacte et donc chercher une valeur approchée n'a pas
d'intérêt !), mais on est content lorsqu'on en a une majoration.

>
> je pense que c'est cela donne moi ton opinion
> ( merci deja pour ske tu ma aider a avancer)