Étude d'une série

[Anonyme]

Bonjour,

Il s'agit d'étudier la nature de la série de terme général :

u_n = sin(pi * e^(1/k) * k^n * n!)

où k entier >= 1.


J'ai tout d'abord regardé ce que ça donné pour k=1 :

u_n = sin(pi * e * n!)

Et en décomposant e = 1 + 1/2 + 1/6 + ...,
on arrive à u_n = (-1)^(n+1) * sin(pi/(n+1) + pi*a_n)
= (-1)^(n+1)*pi/n + (-1)^n*pi/n^2 + (-1)^(n+1)*pi*a_n + o(1/n^2)

[avec a_n > calculable]

d'où la série est absolument convergente, donc convergente.

Mais je ne vois pas comment faire pour k >= 2.
Connaissez-vous une méthode générale ?

D'avance merci pour vos réponses.

Iulius

[Anonyme]

Le Tue, 12 Oct 2004 14:40:00 +0200, Iulius a écrit :
> Mais je ne vois pas comment faire pour k >= 2. Connaissez-vous une
> méthode générale ?

Raisonnement par récurrence ?

--
Hamiral

[Anonyme]

Le Tue, 12 Oct 2004 14:40:00 +0200
Iulius a écrit
>Bonjour,
>
>Il s'agit d'étudier la nature de la série de terme général :
>
>u_n = sin(pi * e^(1/k) * k^n * n!)
>
>où k entier >= 1.
>
>
>J'ai tout d'abord regardé ce que ça donné pour k=1 :
>
>u_n = sin(pi * e * n!)
>
>Et en décomposant e = 1 + 1/2 + 1/6 + ...,
>on arrive à u_n = (-1)^(n+1) * sin(pi/(n+1) + pi*a_n)
>= (-1)^(n+1)*pi/n + (-1)^n*pi/n^2 + (-1)^(n+1)*pi*a_n + o(1/n^2)
>
>[avec a_n > calculable]
>
>d'où la série est absolument convergente, donc convergente.
>
>Mais je ne vois pas comment faire pour k >= 2.
>Connaissez-vous une méthode générale ?

décompose e^x en série entière et majore le reste.

u_n
= sin( pi * sum(1/(i ! k^i), i=0..+oo) * k^n * n! )
= sin( pi * sum( k^(n-i) C(n,i) (n-i)! , i=0..n) + pi * sum( 1/
[k^(i-n) C(i,n) (i-n)! , i=n+1..+oo) )
....
= (-1)^a_n * sin ( sum( pi/ [k^(i-n) C(i,n) (i-n)!] , i=n+1..+oo) )

REM : j'ai fait intervenir le coeff binomial pour éliminer les
divisions et montrer que c'est d'un entier dont on parle.

où a_n brave nombre calculable qui change de parité avec n (à
vérifier).

reste à minorer ce qui reste du sinus...



--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

En réponse à Zwim :

> u_n
> = sin( pi * sum(1/(i ! k^i), i=0..+oo) * k^n * n! )
> = sin( pi * sum( k^(n-i) C(n,i) (n-i)! , i=0..n) + pi * sum( 1/
> [k^(i-n) C(i,n) (i-n)! , i=n+1..+oo) )
> ...
> = (-1)^a_n * sin ( sum( pi/ [k^(i-n) C(i,n) (i-n)!] , i=n+1..+oo) )
>
> où a_n brave nombre calculable qui change de parité avec n (à
> vérifier).

Je trouve en fait :
u_n = (-1)^(k*n+1)sin(pi/(k*(n+1)) + pi*b_n)

où b_n est inférieur en module à une quantité équivalente à 1/n^2.

Donc si k est pair, la série diverge.
Et si k est impair, la série est alternée, et semi-convergente.

Iulius