Etude de suite

[Anonyme]

Comment montrer la croissance de la suite définie par :

U0=1

U(n+1) = (2*U(n)+1)/(U(n)+1)

[Anonyme]

Bonsoir,

Isab écrivait :

> Comment montrer la croissance de la suite définie par :
> U0=1
> U(n+1) = (2*U(n)+1)/(U(n)+1)

1. Montrer que (Un) est positive.

2. Comparer U(n+1)/U(n) par rapport à 1
et conclure quant aux variations de (Un)

À bientôt.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Non, ca ne fonctionne pas. Cette suite converge vers le
nombre d'or phi, et le rapport u(n+1)/u(n) est bien supérieur
à 1 si u(n) est inférieur à phi. Donc pour conclure que la suite
est croissante, il faudrait que je montre avant que ses termes
sont toujours inférieurs à phi, donc ca ne va pas !

On 12 Sep 2003 20:31:18 GMT, Michel wrote:

>Bonsoir,
>
>Isab écrivait :
>[color=green]
>> Comment montrer la croissance de la suite définie par :
>> U0=1
>> U(n+1) = (2*U(n)+1)/(U(n)+1)
>
>1. Montrer que (Un) est positive.
>
>2. Comparer U(n+1)/U(n) par rapport à 1
>et conclure quant aux variations de (Un)
>
>À bientôt.[/color]

[Anonyme]

Isab a écrit :
>
> Non, ca ne fonctionne pas. Cette suite converge vers le
> nombre d'or phi, et le rapport u(n+1)/u(n) est bien supérieur
> à 1 si u(n) est inférieur à phi. Donc pour conclure que la suite
> est croissante, il faudrait que je montre avant que ses termes
> sont toujours inférieurs à phi, donc ca ne va pas !

Généralement c'est faisable par récurrence ça, non? De toute façon il
faut utiliser la valeur de u_0 quelque part...

Moi j'avais préparé une réponse en utilisant u(n+1) - u(n) (comparé à 0)
mais j'avais pas non plus démontré la majoration par phi.

--
Nico.

[Anonyme]

Salut,

Isab écrivait :

> Non, ca ne fonctionne pas.

Pardon, j'ai lu un peu vite.

D'abord, il faut étudier la fonction f:x -> (2x+1)/(x+1).
Elle est croissante sur [0;+oo[

qqs n Un>=0, ça sert encore

Tu as qqs n, Un+1=f(Un).


Par récurrence, on démontre que qqs n on a
U(n+1) > U(n)

Au rang 0, U(1) > U(0)

Supposons au rang n, U(n+1) > U(n), démontrons l'égalité au rang n+1.

Comme f est croissante on a alors f(U(n+1)) > f(U(n))
D'où U(n+2)>U(n+1)

Donc par récurrence, on a démontré la propriété pour tout n>=0.

f est donc croissante.

À plus tard.
--
Michel [overdose@alussinan.org]