Etude de fonction

[Anonyme]

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0, +oo[ par:
f(x) = x.ln (1 + 1/x²) si x différent de 0
f(0) = 0

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
(unité graphique : 5cm)

Partie A:
On considère la fonction g sur l'intervalle ]0;+oo[ par:
g(x) = ln (1 + 1/x²) - 2 / (x²+1)

1.a. Calculer la dérivée g' de g.
1.b. Etudier le signe de g'

2. Déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
3.a. Dresser le tableau de variation de g.
3.b. En déduire qu'il existe un unique alpha > 0 (Alpha qu'on notera A)
tel que g(A) = 0. Vérifier que 0.5 = x=0
(x²+1)² > 0

x___________|_0____________________+00_
1/(1+1/x²)__|_O__________+_____________
4x / (x²+1)²|____________+_____________
g'(x)_______|____________+_____________

2.
lim g(x) :
x-> 0

lim 1 + 1/x² = +oo
x-> 0 composée } lim ln (1 + 1/x²) = +oo
lim lnX = +oo x-> 0
X-> +oo

lim -2 / (x²+1) = -2
x-> 0

=> lim g(x) = +oo
x-> 0


lim g(x) :
x-> +oo

lim 1 + 1/x² = 1
x-> +oo composée } lim ln (1 + 1/x²) = 0
lim lnX = 0 x-> +oo
X-> 1

lim -2 / (x²+1) = 0
x-> +oo

=> lim g(x) = 0
x-> +oo

3.a.

x____|_0__________________+oo_
g'x) |_O_______+______________
g(x) | croissant


3.b.
Je sais qu'il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
Püisque g(x) est strictement croissant sur son ensemble de définition,
il existe un unique A tel que g(A) = 0


4. ?
Je ne vois pas vraiment comment faire..

[Anonyme]

> On considère la fonction g sur l'intervalle ]0;+oo[ par:
> g(x) = ln (1 + 1/x²) - 2 / (x²+1)

> 1.a.
> J'utilise:
> (ln (x))' = 1/x et (u/v)' = (u'v - uv') / v²
>
> g'(x) = 1/(1+1/x²) - (0 -4x / (x²+1)²)
> = 1/(1+1/x²) + 4x / (x²+1)²
>

d(ln(x))/dx = 1/x : je suis d'accord.
Mais ici, à l'intérieur du "ln" tu as une expression plus compliquée que
"x".
La formule à utiliser et celle de la dérivée de la composée de deux
fonctions :
(f o g)' = [f ' o g] * g'
avec f = ln et g : x->1/(1+x²).

> 1.b.
> 1 + 1/x² = 0 => x=0

Hein ?
pour tout x dans lR*+, 1 + 1/x² =/= 0.

> (x²+1)² > 0
>
> x___________|_0____________________+00_
> 1/(1+1/x²)__|_O__________+_____________
> 4x / (x²+1)²|____________+_____________
> g'(x)_______|____________+_____________
>

Bon donc ça, c'est à corriger, à partir de la bonne expression de la
dérivée.

> 2.
> lim g(x) :
> x-> 0
>
> lim 1 + 1/x² = +oo
> x-> 0 composée } lim ln (1 + 1/x²) = +oo
> lim lnX = +oo x-> 0
> X-> +oo
>
> lim -2 / (x²+1) = -2
> x-> 0
>
> => lim g(x) = +oo
> x-> 0
>

Ok.

>
> lim g(x) :
> x-> +oo
>
> lim 1 + 1/x² = 1
> x-> +oo composée } lim ln (1 + 1/x²) = 0
> lim lnX = 0 x-> +oo
> X-> 1
>
> lim -2 / (x²+1) = 0
> x-> +oo
>
> => lim g(x) = 0
> x-> +oo
>

Ok.

> 3.a.
>
> x____|_0__________________+oo_
> g'x) |_O_______+______________
> g(x) | croissant
>

A corriger également.

>
> 3.b.
> Je sais qu'il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

Oui.

> Püisque g(x) est strictement croissant sur son ensemble > de définition,

Non...

> il existe un unique A tel que g(A) = 0
>

Bon et puis même si g était strictement croissante sur ]0,+infty[, ça ne
suffirait pas pour répondre à la question.
Relis bien le théorème du cours.

>
> 4. ?
> Je ne vois pas vraiment comment faire..

Normal que tu ne voies pas vu que tu t'es trompé dès le départ et que le
tableau de variation n'est pas bon.

Je pense que lors d'un tel exercice, il faut avoir à côté de soi une
calculatrice qui permette de détecter d'éventuelles erreurs.
Une petite représentation du graphe de g sur ta calculette et tu remarques
immédiatement que le tableau de variations est faux.

[Anonyme]

Bonsoir,

Alexandre wrote:

> On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0, +oo[ par:
> f(x) = x.ln (1 + 1/x²) si x différent de 0
> f(0) = 0
>
> On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
> (unité graphique : 5cm)
>
> Partie A:
> On considère la fonction g sur l'intervalle ]0;+oo[ par:
> g(x) = ln (1 + 1/x²) - 2 / (x²+1)
>
> 1.a. Calculer la dérivée g' de g.
> 1.b. Etudier le signe de g'
>
> 2. Déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
> 3.a. Dresser le tableau de variation de g.
> 3.b. En déduire qu'il existe un unique alpha > 0 (Alpha qu'on notera A)
> tel que g(A) = 0. Vérifier que 0.5 = (= 4. En déduire des questions précédentes le signe de g(x)
>
> (Je n'ai pas encore entamé la partie B).
>
> 1.a.
> J'utilise:
> (ln (x))' = 1/x et (u/v)' = (u'v - uv') / v²
>
> g'(x) = 1/(1+1/x²) - (0 -4x / (x²+1)²)
> = 1/(1+1/x²) + 4x / (x²+1)²

Tu as mal dérivé le premier terme de g. Attention, il s'agit d'une fonction
composée. Tu dois appliquer la formule (ln(u))'=u'/u, ce qui donne après
simplification g'(x)=2(x^2-1)/(x(x^2+1)^2).

>
> 1.b.
> 1 + 1/x² = 0 => x=0

Oh, depuis quand divise t-on pas zéro?
1+1/x^2 ne s'annule pas.

Tu ne devrais pas avoir de difficulté à corriger ton tableau de signes.

> 2.
> lim g(x) :
> x-> 0
>
> lim 1 + 1/x² = +oo
> x-> 0 composée } lim ln (1 + 1/x²) = +oo
> lim lnX = +oo x-> 0
> X-> +oo
>
> lim -2 / (x²+1) = -2
> x-> 0
>
> => lim g(x) = +oo
> x-> 0
>

Très Bien.

>
> lim g(x) :
> x-> +oo
>
> lim 1 + 1/x² = 1
> x-> +oo composée } lim ln (1 + 1/x²) = 0
> lim lnX = 0 x-> +oo
> X-> 1
>
> lim -2 / (x²+1) = 0
> x-> +oo
>
> => lim g(x) = 0
> x-> +oo
>

Très Bien aussi.

> 3.a.
>

Evidemment le tableau de variation est à refaire.


> 3.b.
> Je sais qu'il faut utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
> Püisque g(x) est strictement croissant sur son ensemble de définition,
> il existe un unique A tel que g(A) = 0
>

Attention, g strictement croissante (et non pas g(x)) n'implique pas
l'existence de A mais seulement son unicité. (x->x^2+1 est strictement
croissante sur R+ mais ne s'annule pas).

Dans le cas qui nous interesse, g est continue sur l'intervalle [0.5;0.6].
De plus g(0.5) et g(0.6) sont de signes opposés donc d'après le théorème des
valeurs intermédiaires il existe un (au moins) réel A appartenant à
[0.5;0.6] tel que g(A)=0.
Comme g est strictement monotone sur [0.5;0.6], il s'ensuit l'unicité.

Il me semble que la continuité n'est toujours pas enseigné en terminale S
(tu es bien en TS ?). Disons que l'hypothèse de continuité sur un
intervalle implique que l'on peut tracer la courbe représentative de la
fonction sur cet intervalle sans lever le crayon. Or ici, tu dois joindre
deux points situés de part et d'autre de l'axe des abscisses (ceux
d'abscisses 0.5 et 0.6) donc necessairement tu dois traverser au moins une
fois cet axe. Comme en terminale S les fonctions proposées sont toujours
continues (quand cette hypothèse est necessaire) alors ca marche toujours.
Prends par exemple la fonction f:x -> Ent(x)+0.5 (Ent(x) la partie entière
de x ie le plus grand entier précédent x) définie sur R. On a
f(-0.8)=-1+0.5=-0.50 et pourtant elle ne s'annulle
pas entre -0.8 et 0.8. Il se trouve qu'elle n'est pas continue. Pour tracer
sa courbe représentative tu dois régulièrement lever le crayon.

> 4. ?
> Je ne vois pas vraiment comment faire..

Examinons le signe sur [0.5;0.6]. Tu sais que g y est strictement
décroissante et s'annule en A. Quel est son signe sur [0.5;A]? sur [A;0.6]?
Si tu ne vois fais un dessin.

A l'aide d'une calculatrice graphique ou en calculant simplement
g(1) qui est négatif tu aurais pu t'apercevoir de l'inéxactitude de tes
calculs.

En espérant avoir été utile.

-- Eric Guirbal

[Anonyme]

Alexandre wrote:
> On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0, +oo[ par:
> f(x) = x.ln (1 + 1/x²) si x différent de 0
> f(0) = 0

>
> Partie A:
> On considère la fonction g sur l'intervalle ]0;+oo[ par:
> g(x) = ln (1 + 1/x²) - 2 / (x²+1)
>
> 1.a. Calculer la dérivée g' de g.

> 1.a.
> J'utilise:
> (ln (x))' = 1/x et (u/v)' = (u'v - uv') / v²

Non c'est ln (u(x)) dont la dérivée est u'(x)/u(x),sous la condition
u(x)>0 qui est ici sans problème réalisée.

> g'(x) = 1/(1+1/x²) - (0 -4x / (x²+1)²)

Voir la remarque qui précède. le premier terme n'a pas pour numérateur 1
mais la dérivée de 1 + 1/x².

René

[Anonyme]

Après correction:

1.a.
g'(x) = -2 / (x³+x) + 4x / (x²+1)²
= ...

= 2(x²-1) / x.(x²+1)²


1.b.
Valeurs interdites:
x.(x²+1)² = 0
=> x = 0

L'équation s'annule pour:
2(x²-1)² = 0
x = 1

x___________|_0__________1__________+00_
1/(1+1/x²)__|_O_____+____|____+_________
4x / (x²+1)²|_|_____-____O____+_________
g'(x)_______|_||____-____|____+_________


2.
lim g(x) :
x-> 0

lim 1 + 1/x² = +oo
x-> 0 composée } lim ln (1 + 1/x²) = +oo
lim lnX = +oo x-> 0
X-> +oo

lim -2 / (x²+1) = -2
x-> 0

=> lim g(x) = +oo
x-> 0


lim g(x) :
x-> +oo

lim 1 + 1/x² = 1
x-> +oo composée } lim ln (1 + 1/x²) = 0
lim lnX = 0 x-> +oo
X-> 1

lim -2 / (x²+1) = 0
x-> +oo

=> lim g(x) = 0
x-> +oo

3.a.

x____|___0_______1___________+oo
g'x) |___O___-___|_____+_______
g(x) |décroissant| croissant

g(1) = ln (2) - 1


3.b.
Sur l'intervalle ]0;1], g(x) est strictement décroissant.
g(1) = ln (2) - 1 ( 0

=> g(x) coupe l'axe des abcisses en A.

Sur [1;+00[ g(x) est strictement croissant
g(1) = ln (2) - 1 ( +oo

Donc pour tout x>1, g(x)0
g(0.6) = -0.14.. <0

Donc 0.5 =< A =< 0.6

4. Je pense qu'on peut dire:
Sur ]0;A] g est positif.
Sur [A; +oo[ g est négatif.


Voilà, j'espère que cette fois ci, ça ira mieux. J'avais déjà regarder
sur calculatrice, mais ne comprenais.. Je me doutais qu'il y avait une
erreur (mais où ?).

[Anonyme]

> Après correction:
>
> 1.a.
> g'(x) = -2 / (x³+x) + 4x / (x²+1)²
> = ...
>
> = 2(x²-1) / x.(x²+1)²
>
>
> 1.b.
> Valeurs interdites:
> x.(x²+1)² = 0
> => x = 0
>
> L'équation s'annule pour:
> 2(x²-1)² = 0
> x = 1
>
> x___________|_0__________1__________+00_
> 1/(1+1/x²)__|_O_____+____|____+_________
> 4x / (x²+1)²|_|_____-____O____+_________
> g'(x)_______|_||____-____|____+_________
>
>
> 2.
> lim g(x) :
> x-> 0
>
> lim 1 + 1/x² = +oo
> x-> 0 composée } lim ln (1 + 1/x²) = +oo
> lim lnX = +oo x-> 0
> X-> +oo
>
> lim -2 / (x²+1) = -2
> x-> 0
>
> => lim g(x) = +oo
> x-> 0
>
>
> lim g(x) :
> x-> +oo
>
> lim 1 + 1/x² = 1
> x-> +oo composée } lim ln (1 + 1/x²) = 0
> lim lnX = 0 x-> +oo
> X-> 1
>
> lim -2 / (x²+1) = 0
> x-> +oo
>
> => lim g(x) = 0
> x-> +oo
>
> 3.a.
>
> x____|___0_______1___________+oo
> g'x) |___O___-___|_____+________
> g(x) |décroissant| croissant
>
> g(1) = ln (2) - 1
>
>
> 3.b.
> Sur l'intervalle ]0;1], g(x) est strictement décroissant.
> g(1) = ln (2) - 1 ( et lim g(x) = +oo
> x-> 0
>
> => g(x) coupe l'axe des abcisses en A.
>
> Sur [1;+00[ g(x) est strictement croissant
> g(1) = ln (2) - 1 ( et lim g(x) = 0
> x-> +oo
>
> Donc pour tout x>1, g(x)
> Donc il existe un unique A tel que g(A) = 0
> 0
> g(0.5) = 0.009.. >0
> g(0.6) = -0.14..
> Donc 0.5 =
> 4. Je pense qu'on peut dire:
> Sur ]0;A] g est positif.
> Sur [A; +oo[ g est négatif.
>
>
> Voilà, j'espère que cette fois ci, ça ira mieux. J'avais déjà regarder
> sur calculatrice, mais ne comprenais.. Je me doutais qu'il y avait une
> erreur (mais où ?).

(Petite Mise à jour, pour demander si ce qui précède est correcte et
pour savoir s'il n'y a pas une autre méthode à la question 3.b (pour
prouver que 0.5 =< A =< 0.6 ; je pense que oui, mais dans la dernière
correction nous avons procédé de la même façon).

[Anonyme]

Alexandre a écrit:

>
> (Petite Mise à jour, pour demander si ce qui précède est correcte et
> pour savoir s'il n'y a pas une autre méthode à la question 3.b (pour
> prouver que 0.5 = correction nous avons procédé de la même façon).

j'arrive un peu tard mais puisque personne n'a répondu...
0,5 et 0,6 sont des valeurs numériques qui n'ont aucune signification
particulière dans l'énoncé de départ, on aurait pu demander de montrer
que 0,49566.. =<A =< (e+pi)/9... donc il n'y a à priori pas de méthode
plus élégante qu'un calcul numérique.

--
albert

[Anonyme]

> j'arrive un peu tard mais puisque personne n'a répondu...
> 0,5 et 0,6 sont des valeurs numériques qui n'ont aucune signification
> particulière dans l'énoncé de départ, on aurait pu demander de montrer
> que 0,49566.. = plus élégante qu'un calcul numérique.

Merci

J'ai opté pour cette méthode, puisque n'en voyais pas d'autre, et c'est bon.